Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$ comme $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})$ en déplaçant $\frac{7}{2 \ln (x)}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Étape 2.2

Associez $\frac{7}{2 \ln (x)}$ et $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

Étape 2.3

Placez le terme $\frac{7}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Étape 3.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Étape 3.1.3

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.7

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.9

Multipliez $\frac{2}{1 + 2 x}$ par $1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Étape 3.3.11

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

Étape 3.5

Associez $\frac{2}{2 x + 1}$ et $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

Étape 5

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Étape 6.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Étape 6.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 6.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{7 \frac{1}{2 + 0}}$

Étape 8.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$e^{7 (\frac{1}{2})}$

Étape 8.3

Associez $7$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{7}{2}}$