Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2} + x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{3 π}{2} + x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $\frac{3 π}{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $\cos (\frac{3 π}{2})$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + 0) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Additionnez $\frac{3 π}{2}$ et $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2}) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (\frac{3 π}{2} + x) - 0$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 0]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)]$ .

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Étape 3.5.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{3 π}{2} + x$ .

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Étape 3.5.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 π}{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 π}{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 π}{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2}] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.3

Comme $\frac{3 π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0]$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + \frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.6.2

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.7

Additionnez $- \sin (\frac{3 π}{2} + x)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x)}{1}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{1}$

Étape 4.2

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{1}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})}{1}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez $- \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Étape 5.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Étape 5.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (lim_{x \to 0} \frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Étape 5.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 3 π + x \cdot 2)$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 3 π + lim_{x \to 0} x \cdot 2))$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $3 π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + lim_{x \to 0} x \cdot 2))$

Étape 5.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 2 lim_{x \to 0} x))$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 2 \cdot 0))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 0))$

Étape 7.2

Additionnez $3 π$ et $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π))$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{2} (3 π)$ .

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Étape 7.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \sin (\frac{3}{2} π)$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 7.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Étape 7.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$