Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Étape 1

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Étape 2

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Étape 2.4

Comme $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 4.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Étape 4.1.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Étape 4.1.1.3

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 4.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 4.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 4.1.3.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Étape 4.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Étape 4.1.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.6.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Étape 4.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Étape 4.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Étape 4.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ approche de $0$ .

$- 0$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 5

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$