Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 6}^{6} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}^{2}$ comme $(6 + x) (6 - x)$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ comme ${((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$V = (6 + x) (6 - x)$

Étape 2.2

Développez $(6 + x) (6 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = 6 (6 - x) + x (6 - x)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x (6 - x)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$V = 36 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$V = 36 - 6 x + x \cdot 6 + x (- x)$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 \cdot x + x (- x)$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = 36 - 6 x + 6 x - x \cdot x$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - (x \cdot x)$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - x^{2}$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $6 x$ .

$V = 36 + 0 - x^{2}$

Étape 2.3.3

Additionnez $36$ et $0$ .

$V = 36 - x^{2}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{- 6}^{6} 36 d x + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - \int_{- 6}^{6} x^{2} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{6}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $36 x$ sur $6$ et sur $- 6$ .

$V = π ((36 \cdot 6) - 36 \cdot - 6 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $6$ et sur $- 6$ .

$V = π (36 \cdot 6 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $36$ par $6$ .

$V = π (216 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 36$ par $- 6$ .

$V = π (216 + 216 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $216$ et $216$ .

$V = π (432 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$V = π (432 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.5

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (432 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.5.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.6

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{- 216}{3}))$

Étape 7.2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 216$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 216$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3}))$

Étape 7.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}))$

Étape 7.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}))$

Étape 7.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (432 - (72 - \frac{- 72}{1}))$

Étape 7.2.3.7.2.4

Divisez $- 72$ par $1$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 72$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Étape 7.2.3.9

Additionnez $72$ et $72$ .

$V = π (432 - 1 \cdot 144)$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$V = π (432 - 144)$

Étape 7.2.3.11

Soustrayez $144$ de $432$ .

$V = π \cdot 288$

Étape 7.2.3.12

Déplacez $288$ à gauche de $π$ .

$V = 288 π$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = 288 π$

Forme décimale :

$V = 904.77868423 \dots$

Étape 9