Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$

Étape 1

Comme $\frac{π}{3}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$ par rapport à $h$ est $\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$ .

$\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = h^{2}$ et $g (h) = 3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [3 r - h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 r - h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.2

Comme $3 r$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $3 r$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [- h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- h$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- \frac{d}{d h} [h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- 1 \cdot 1) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \cdot - 1 + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- 1 \cdot h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.6.3

Réécrivez $- 1 h^{2}$ comme $- h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) (2 h))$

Étape 3.8

Déplacez $2$ à gauche de $3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 \cdot (3 r - h) h)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (2 (3 r) + 2 (- h)) h)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 (3 r) h + 2 (- h) h)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{π}{3} (- h^{2}) + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Associez $\frac{π}{3}$ et $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (6 r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.3

Associez $6$ et $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 π}{3} (r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.4

Associez $r$ et $\frac{6 π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π)}{3} h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.5

Associez $\frac{r (6 π)}{3}$ et $h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π) h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.6

Déplacez $6$ à gauche de $r$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 \cdot r π h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.7

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 4.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $6 r π h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 (1)} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 \cdot 1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{2 r π h}{1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.7.2.4

Divisez $2 r π h$ par $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Étape 4.4.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h \cdot h)$

Étape 4.4.9

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h))$

Étape 4.4.10

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h^{1}))$

Étape 4.4.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{1 + 1})$

Étape 4.4.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{2})$

Étape 4.4.13

Associez $- 2$ et $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π}{3} h^{2}$

Étape 4.4.14

Associez $\frac{- 2 π}{3}$ et $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π h^{2}}{3}$

Étape 4.4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h - \frac{2 π h^{2}}{3}$

Étape 4.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 r π h + \frac{- π h^{2} - 2 π h^{2}}{3}$

Étape 4.4.17

Soustrayez $2 π h^{2}$ de $- π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{- 3 π h^{2}}{3}$

Étape 4.4.18

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.4.18.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3}$

Étape 4.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 (1)}$

Étape 4.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 4.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 r π h + \frac{- π h^{2}}{1}$

Étape 4.4.18.2.4

Divisez $- π h^{2}$ par $1$ .

$2 r π h - π h^{2}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 π h r - π h^{2}$