Calcul infinitésimal Exemples

$H (t) = t^{8} - \frac{4}{5} t^{10}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{8} - \frac{4}{5} t^{10}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{5} t^{10}]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t^{8}) + \frac{d}{d t} (- \frac{4}{5} t^{10})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{d}{d t} (- \frac{4}{5} t^{10})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{5} t^{10}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- \frac{4}{5}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{4}{5} t^{10}$ par rapport à $t$ est $- \frac{4}{5} \frac{d}{d t} [t^{10}]$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d t} t^{10}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - \frac{4}{5} \cdot (10 t^{9})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 10 (\frac{4}{5}) \cdot t^{9}$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 10$ et $\frac{4}{5}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{- 10 \cdot 4}{5} t^{9}$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{- 40}{5} t^{9}$

Étape 1.1.2.6

Associez $\frac{- 40}{5}$ et $t^{9}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{- 40 t^{9}}{5}$

Étape 1.1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $5$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 40 t^{9}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{5 (- 8 t^{9})}{5}$

Étape 1.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{5 (- 8 t^{9})}{5 (1)}$

Étape 1.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{5 (- 8 t^{9})}{5 \cdot 1}$

Étape 1.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (t) = 8 t^{7} + \frac{- 8 t^{9}}{1}$

Étape 1.1.2.7.2.4

Divisez $- 8 t^{9}$ par $1$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 8 t^{9}$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (t) = - 8 t^{9} + 8 t^{7}$

Étape 1.2

La dérivée première de $H (t)$ par rapport à $t$ est $- 8 t^{9} + 8 t^{7}$ .

$- 8 t^{9} + 8 t^{7}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 8 t^{9} + 8 t^{7} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 8 t^{9} + 8 t^{7} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 8 t^{7}$ à partir de $- 8 t^{9} + 8 t^{7}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 8 t^{7}$ à partir de $- 8 t^{9}$ .

$- 8 t^{7} t^{2} + 8 t^{7} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 8 t^{7}$ à partir de $8 t^{7}$ .

$- 8 t^{7} t^{2} - 8 t^{7} \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 8 t^{7}$ à partir de $- 8 t^{7} (t^{2}) - 8 t^{7} (- 1)$ .

$- 8 t^{7} (t^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 8 t^{7} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 1$ .

$- 8 t^{7} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 8 t^{7} (t + 1) (t - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t^{7} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $t^{7}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $t^{7}$ égal à $0$ .

$t^{7} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $t^{7} = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \sqrt[7]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[7]{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$t = \sqrt[7]{0^{7}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$t = 0$

Étape 2.5

Définissez $t + 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $t + 1$ égal à $0$ .

$t + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 1$

Étape 2.6

Définissez $t - 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $t - 1$ égal à $0$ .

$t - 1 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 1$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 8 t^{7} (t + 1) (t - 1) = 0$ vraie.

$t = 0, - 1, 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $t$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $t$ par $- 2$ dans l’expression.

$H' (- 2) = - 8 {(- 2)}^{9} + 8 {(- 2)}^{7}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $9$ .

$H' (- 2) = - 8 \cdot - 512 + 8 {(- 2)}^{7}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 512$ .

$H' (- 2) = 4096 + 8 {(- 2)}^{7}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $7$ .

$H' (- 2) = 4096 + 8 \cdot - 128$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $8$ par $- 128$ .

$H' (- 2) = 4096 - 1024$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1024$ de $4096$ .

$H' (- 2) = 3072$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3072$ .

$3072$

Étape 5.3

Sur $t = - 2$ la dérivée est $3072$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $H' (t) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $t$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 8 {(- \frac{1}{2})}^{9} + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 8 ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 8 ({(- 1)}^{9} (\frac{1^{9}}{2^{9}})) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $9$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 8 (- \frac{1^{9}}{2^{9}}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 8 (- \frac{1}{2^{9}}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 8 (- \frac{1}{512}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{512}$ dans le numérateur.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 8 (\frac{- 1}{512}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = 8 (- 1) (\frac{- 1}{512}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.5.3

Factorisez $8$ à partir de $512$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = 8 \cdot (- 1 \frac{- 1}{8 \cdot 64}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$H' (- \frac{1}{2}) = 8 \cdot (- 1 \frac{- 1}{8 \cdot 64}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 1 (\frac{- 1}{64}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 1 (- \frac{1}{64}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $- 1 (- \frac{1}{64})$ .

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Étape 6.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1}{64}) + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.7.2

Multipliez $\frac{1}{64}$ par $1$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 {(- \frac{1}{2})}^{7}$

Étape 6.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 ({(- 1)}^{7} {(\frac{1}{2})}^{7})$

Étape 6.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 ({(- 1)}^{7} (\frac{1^{7}}{2^{7}}))$

Étape 6.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 (- \frac{1^{7}}{2^{7}})$

Étape 6.2.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 (- \frac{1}{2^{7}})$

Étape 6.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 (- \frac{1}{128})$

Étape 6.2.1.12

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{128}$ dans le numérateur.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 (\frac{- 1}{128})$

Étape 6.2.1.12.2

Factorisez $8$ à partir de $128$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 (\frac{- 1}{8 (16)})$

Étape 6.2.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + 8 (\frac{- 1}{8 \cdot 16})$

Étape 6.2.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} + \frac{- 1}{16}$

Étape 6.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} - \frac{1}{16}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} - \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{4}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} - \frac{4}{16 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{64} - \frac{4}{64}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{64}$

Étape 6.2.5

Soustrayez $4$ de $1$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{64}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$H' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{64}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{64}$ .

$- \frac{3}{64}$

Étape 6.3

Sur $t = - \frac{1}{2}$ la dérivée est $- \frac{3}{64}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1, 0)$ .

Diminue sur $(- 1, 0)$ depuis $H' (t) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $t$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$H' (\frac{1}{2}) = - 8 {(\frac{1}{2})}^{9} + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - 8 \frac{1^{9}}{2^{9}} + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$H' (\frac{1}{2}) = - 8 \frac{1}{2^{9}} + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - 8 (\frac{1}{512}) + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$H' (\frac{1}{2}) = 8 (- 1) (\frac{1}{512}) + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.4.2

Factorisez $8$ à partir de $512$ .

$H' (\frac{1}{2}) = 8 \cdot (- 1 \frac{1}{8 \cdot 64}) + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$H' (\frac{1}{2}) = 8 \cdot (- 1 \frac{1}{8 \cdot 64}) + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$H' (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{64}) + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{64})$ comme $- (\frac{1}{64})$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{64}) + 8 {(\frac{1}{2})}^{7}$

Étape 7.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + 8 (\frac{1^{7}}{2^{7}})$

Étape 7.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + 8 (\frac{1}{2^{7}})$

Étape 7.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + 8 (\frac{1}{128})$

Étape 7.2.1.9

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.2.1.9.1

Factorisez $8$ à partir de $128$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + 8 (\frac{1}{8 (16)})$

Étape 7.2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + 8 (\frac{1}{8 \cdot 16})$

Étape 7.2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + \frac{1}{16}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $\frac{1}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{4}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + \frac{4}{16 \cdot 4}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{64} + \frac{4}{64}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{64}$

Étape 7.2.5

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{64}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{3}{64}$ .

$\frac{3}{64}$

Étape 7.3

Sur $t = \frac{1}{2}$ la dérivée est $\frac{3}{64}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 1)$ .

Augmente sur $(0, 1)$ depuis $H' (t) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $t$ par $2$ dans l’expression.

$H' (2) = - 8 {(2)}^{9} + 8 {(2)}^{7}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$H' (2) = - 8 \cdot 512 + 8 {(2)}^{7}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $512$ .

$H' (2) = - 4096 + 8 {(2)}^{7}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$H' (2) = - 4096 + 8 \cdot 128$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $8$ par $128$ .

$H' (2) = - 4096 + 1024$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 4096$ et $1024$ .

$H' (2) = - 3072$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 3072$ .

$- 3072$

Étape 8.3

Sur $t = 2$ la dérivée est $- 3072$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(1, \infty)$ .

Diminue sur $(1, \infty)$ depuis $H' (t) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Diminue sur : $(- 1, 0), (1, \infty)$

Étape 10