Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Étape 5

Développez $(2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{3 - 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int 2 x^{1} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.5

Simplifiez

$\int 2 x - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x - 3 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int 2 x - 3 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 2 x - 3 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\int 2 x - 3 + 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.10

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\int 2 x - 3 + x^{- 2} d x$

Étape 5.11

Déplacez $- 3$ .

$\int 2 x + x^{- 2} - 3 d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 3 d x$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 3 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 3 x + C$

Étape 12

Simplifiez

$x^{2} - \frac{1}{x} - 3 x + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} - \frac{1}{x} - 3 x + C$