Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Étape 3.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x)$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Étape 3.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{4}} d x$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{- 2} d x$

Étape 5

Développez $(3 x^{2} - x + 6) x^{- 2}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (3 x^{2} - x) x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x^{2} x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{2 - 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int 3 x^{0} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int 3 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.7

Factorisez le signe négatif.

$\int 3 - (x \cdot x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 3 - (x^{1} x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 - x^{1 - 2} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.10

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\int 3 - x^{- 1} + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.11

Remettez dans l’ordre $3$ et $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + 3 + 6 x^{- 2} d x$

Étape 5.12

Déplacez $3$ .

$\int - x^{- 1} + 6 x^{- 2} + 3 d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 8

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Étape 12

Simplifiez

$- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$