Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3}$ , $[0, 3]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{3}$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 3]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 3)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 3)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 3)$ car la dérivée est continue sur $(0, 3)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 3]$ et différentiable sur $(0, 3)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 3]$ et différentiable sur $(0, 3)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 3]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[0, 3]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = {(3)}^{3}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 27$

Étape 8.2.2

La réponse finale est $27$ .

$27$

Étape 9

Résolvez $3 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $3 x^{2} = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 x^{2} = \frac{27 + 0}{(3) - (0)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 x^{2} = \frac{27 + 0}{3 + 0}$

Étape 9.1.3

Réduisez l’expression $\frac{27 + 0}{3 + 0}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 x^{2} = \frac{3 (9) + 0}{3 + 0}$

Étape 9.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot 9 + 3 \cdot 0}{3 + 0}$

Étape 9.1.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 9 + 3 \cdot 0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 + 0}$

Étape 9.1.3.4

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 (1) + 0}$

Étape 9.1.3.5

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 0}$

Étape 9.1.3.6

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1 + 3 \cdot 0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot (1 + 0)}$

Étape 9.1.3.7

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot (1 + 0)}$

Étape 9.1.3.8

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} = \frac{9 + 0}{1 + 0}$

Étape 9.1.4

Additionnez $9$ et $0$ .

$3 x^{2} = \frac{9}{1 + 0}$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 x^{2} = \frac{9}{1}$

Étape 9.1.6

Divisez $9$ par $1$ .

$3 x^{2} = 9$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 9$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{3}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Divisez $9$ par $3$ .

$x^{2} = 3$

Étape 9.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 9.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 9.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 9.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = \sqrt{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 3$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \sqrt{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 3$

Étape 11

Il y a une droite tangente sur $x = - \sqrt{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 3$ .

Il y a une droite tangente sur $x = - \sqrt{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 3$

Étape 12