Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[2, 5]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[2, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x (x - 1) d x)$

Étape 5

Multipliez $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Étape 6.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Étape 6.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Étape 6.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - x d x)$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} - x d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} - x d x)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - \int_{2}^{5} x d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}))$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $5$ et sur $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}) - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.5

Associez $- 8$ et $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.8

Soustrayez $8$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.9

Annulez le facteur commun à $117$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.9.2.4

Divisez $39$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}))$

Étape 11.2.3.12

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}))$

Étape 11.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}))$

Étape 11.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}))$

Étape 11.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}))$

Étape 11.2.3.12.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2))$

Étape 11.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2))$

Étape 11.2.3.14

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 11.2.3.15

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}))$

Étape 11.2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 2 \cdot 2}{2})$

Étape 11.2.3.17

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.17.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 4}{2})$

Étape 11.2.3.17.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{21}{2})$

Étape 11.2.3.18

Pour écrire $39$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2})$

Étape 11.2.3.19

Associez $39$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2})$

Étape 11.2.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2 - 21}{2})$

Étape 11.2.3.21

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.21.1

Multipliez $39$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{78 - 21}{2})$

Étape 11.2.3.21.2

Soustrayez $21$ de $78$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{57}{2})$

Étape 12

Soustrayez $2$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{57}{2}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Factorisez $3$ à partir de $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (19)}{2}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 19}{2}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{19}{2}$

Étape 14