Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Étape 6

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

Étape 7.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 7.3.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Étape 7.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Étape 7.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

Étape 7.3.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

Étape 8.2

Réécrivez $\frac{π + π}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 8.2.1

Additionnez $π$ et $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Étape 8.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Réduisez l’expression $\frac{2 π}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Étape 8.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

Étape 8.2.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Étape 10