Calcul infinitésimal Exemples

$(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = 3 \sqrt{2}$ et $θ = \frac{π}{4}$ dans les formules.

$x = (3 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{4})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4

Multipliez $3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $3$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.2

Associez $\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.2

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3$

$y = 3 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 8

Multipliez $3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $3$ .

$x = 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

Étape 8.2

Associez $\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$x = 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 8.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Étape 8.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Étape 8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = 3$

$y = \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Étape 9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 9.5

Évaluez l’exposant.

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = 3$

$y = \frac{6}{2}$

Étape 10.2

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3$

$y = 3$

$x = 3$

$y = 3$

Étape 11

La représentation rectangulaire du point polaire $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ est $(3, 3)$ .

$(3, 3)$