Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = - 20$ et $c = x - 49$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot (x - 49))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 2 \cdot (x - 49)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 \cdot (x - 49)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 x + 8 \cdot - 49}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $8$ par $- 49$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 x - 392}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.5

Soustrayez $392$ de $400$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 x + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.6

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x) + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x) + 8 (1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.6.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (x) + 8 (1)$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.7

Réécrivez $8 (x + 1)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))$ .

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Étape 1.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{4 (2) (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.7.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1^{2})}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{- 4}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{- 4}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2 (x + 1)}}{- 2}$

Étape 1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{10 \pm \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 2 \cdot (x - 49)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 \cdot (x - 49)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 x + 8 \cdot - 49}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $8$ par $- 49$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 x - 392}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.5

Soustrayez $392$ de $400$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 x + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.6

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x) + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x) + 8 (1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.6.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (x) + 8 (1)$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.7

Réécrivez $8 (x + 1)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))$ .

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Étape 1.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{4 (2) (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.7.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1^{2})}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{- 4}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{- 4}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2 (x + 1)}}{- 2}$

Étape 1.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{10 \pm \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 1.4.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 2 \cdot (x - 49)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 \cdot (x - 49)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 x + 8 \cdot - 49}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $8$ par $- 49$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 8 x - 392}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.5

Soustrayez $392$ de $400$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 x + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.6

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x) + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x) + 8 (1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.6.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (x) + 8 (1)$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{8 (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.7

Réécrivez $8 (x + 1)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))$ .

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Étape 1.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{4 (2) (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.7.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1^{2})}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{- 4}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 2 \sqrt{2 (x + 1)}}{- 4}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2 (x + 1)}}{- 2}$

Étape 1.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{10 \pm \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 1.5.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ en deux fractions.

$y = - (\frac{10}{2} + \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2})$

$y = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 4

Divisez $10$ par $2$ .

$y = - (5 + \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2})$

$y = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ en deux fractions.

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - (\frac{10}{2} + \frac{- \sqrt{2 (x + 1)}}{2})$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Divisez $10$ par $2$ .

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - (5 + \frac{- \sqrt{2 (x + 1)}}{2})$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - (5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2})$

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - (5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2})$

Étape 9

Simplifiez en multipliant.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - 1 \cdot 5 + \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - 5 + \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - 5 - \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

$y = - 5 + \frac{\sqrt{2 (x + 1)}}{2}$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - 5 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 1)})$

$y = - 5 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 1)}$

Étape 11

Supprimez les parenthèses.

$y = - 5 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 1)}$

$y = - 5 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 1)}$

Étape 12