Calcul infinitésimal Exemples

$7 \sqrt{x} e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $7 \sqrt{x} e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = 7 \sqrt{x} e^{- x}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 2.1.1.1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.4

Différenciez.

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.1.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.1.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 2.1.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.1.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 2.1.1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 2.1.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 2.1.1.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.1.1.11

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.1.1.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.1.1.13

Simplifiez

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Étape 2.1.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.13.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.1.13.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.13.2.2

Associez $7$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.13

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2.17

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $\frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.16

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.17

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.18

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.18.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.18.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.3.18.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.18.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Étape 2.1.2.3.19

Simplifiez

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.1.2.3.20

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.4.3.1

Associez $- 7$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.5

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.6

Associez $- 7$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.8

Pour écrire $- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 2.1.2.4.3.9

Pour écrire $\frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.1.2.4.3.10.1

Multipliez $\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.7

Multipliez $\frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.8

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.4.3.10.8.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Étape 2.1.2.4.3.10.8.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.1.2.4.3.10.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Étape 2.1.2.4.3.10.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.8.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.10.8.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.5.1.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1.2.4.5.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.1.2.4.5.1.1.1.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 x e^{- x} + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 7 x e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.2

Soustrayez $7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ de $- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.3

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1.2.4.5.1.3.1

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.3.2

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 7 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.3.3

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 7 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1.2.4.5.1.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.5

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.4.5.1.5.1

Factorisez le signe négatif.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.5.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.6

Pour écrire $2 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.7

Associez $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.5.1.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.4.5.1.9.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9.3

Simplifiez $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.9.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.10

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.4.5.1.10.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.10.2

Associez $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $- 7$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.10.3

Associez $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.11

Réduisez l’expression $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.4.5.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.12

Déplacez $- 7$ à gauche de $4 x + 1$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 7 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.5.3

Multipliez $- \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 2.1.2.4.5.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 2.1.2.4.5.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.6

Pour écrire $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.7

Associez $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.9.1

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 7 (4 x + 1) e^{- x}$ .

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Étape 2.1.2.4.9.1.1

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.1.2

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $- 7 (4 x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 7 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.1.3

Factorisez $7 e^{- x}$ à partir de $7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 7 e^{- x} (- (4 x + 1))$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.4.9.2.1

Déplacez $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.2.5

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.4.9.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4.9.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 2.2.3.2

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 2.2.3.2.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 2.2.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.3.3

Définissez $4 x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Définissez $4 x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Résolvez $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.3.3.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.3.3.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.3.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.3.3.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.3.3.2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.2.3.3.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.3.3.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.3.3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.3.2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.3.3.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.4.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.4.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.3.3.2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.2.3.3.2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.3.3.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.3.3.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.3.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.3.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.3.3.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.5.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.5.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.3.3.2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.2.3.3.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.2.3.3.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.3.3.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.3.3.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = 7 \sqrt{x} e^{- x}$ .

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Étape 3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = \frac{7 e^{- (1)} (4 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1)}{4 {(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Placez $e^{- (1)}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{7 (4 {(1)}^{2} - 4 - 1)}{4 {(1)}^{\frac{3}{2}} e}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = \frac{7 (4 \cdot 1 - 4 - 1)}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{7 (4 - 4 - 1)}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Étape 5.2.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f'' (1) = \frac{7 (0 - 1)}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Étape 5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (1) = \frac{7 \cdot - 1}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = \frac{7 \cdot - 1}{4 \cdot (1 e)}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{7 \cdot - 1}{4 e}$

Étape 5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f'' (1) = \frac{- 7}{4 e}$

Étape 5.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (1) = - \frac{7}{4 e}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $- \frac{7}{4 e}$ .

$- \frac{7}{4 e}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ car $f'' (1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4 {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4 {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{1 + 2} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $4$ par ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{1 + \frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{2 + 3}{2}}}$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.3

Placez $e^{- (4)}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = \frac{7 (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{7 (64 - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f'' (4) = \frac{7 (64 - 16 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Étape 6.2.4.3

Soustrayez $16$ de $64$ .

$f'' (4) = \frac{7 (48 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Étape 6.2.4.4

Soustrayez $1$ de $48$ .

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Étape 6.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{2^{2 (\frac{5}{2})} e^{4}}$

Étape 6.2.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{2^{2 (\frac{5}{2})} e^{4}}$

Étape 6.2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{2^{5} e^{4}}$

Étape 6.2.5.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{32 e^{4}}$

Étape 6.2.6

Multipliez $7$ par $47$ .

$f'' (4) = \frac{329}{32 e^{4}}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $\frac{329}{32 e^{4}}$ .

$\frac{329}{32 e^{4}}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8