Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} - x$ , $- 2 \leq x \leq 2$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{x} - 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} = 1$

Étape 1.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Étape 1.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Étape 1.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (1)$

Étape 1.2.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $e^{x} - x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$e^{0} - (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - (0)$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $0$ de $1$ .

$1$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 1)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$e^{- 2} - (- 2)$

Étape 2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - (- 2)$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + 2$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$e^{2} - (2)$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{2} - 2$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, \frac{1}{e^{2}} + 2), (2, e^{2} - 2)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, e^{2} - 2)$

Minimum absolu : $(0, 1)$

Étape 4