Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{4} - 32 x^{3} - 27 x^{2} + 216 x + 29$ ; $[- 5, 5]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} - 32 x^{3} - 27 x^{2} + 216 x + 29$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [216 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 32 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} (216 x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [216 x]$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $216$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $216 x$ par rapport à $x$ est $216 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.5.3

Multipliez $216$ par $1$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216 + \frac{d}{d x} (29)$

Étape 1.1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.6.1

Comme $29$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $29$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216 + 0$

Étape 1.1.1.6.2

Additionnez $24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $24 x^{3} - 96 x^{2} - 54 x + 216$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $24 x^{3}$ .

$6 (4 x^{3}) - 96 x^{2} - 54 x + 216 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 96 x^{2}$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 16 x^{2}) - 54 x + 216 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 54 x$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 16 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 216 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $216$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 16 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 6 (36) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (4 x^{3}) + 6 (- 16 x^{2})$ .

$6 (4 x^{3} - 16 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 6 (36) = 0$

Étape 1.2.2.1.6

Factorisez $6$ à partir de $6 (4 x^{3} - 16 x^{2}) + 6 (- 9 x)$ .

$6 (4 x^{3} - 16 x^{2} - 9 x) + 6 (36) = 0$

Étape 1.2.2.1.7

Factorisez $6$ à partir de $6 (4 x^{3} - 16 x^{2} - 9 x) + 6 (36)$ .

$6 (4 x^{3} - 16 x^{2} - 9 x + 36) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((4 x^{3} - 16 x^{2}) - 9 x + 36) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 (4 x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$6 ((x - 4) (4 x^{2} - 9)) = 0$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$6 ((x - 4) ({(2 x)}^{2} - 9)) = 0$

Étape 1.2.2.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$6 ((x - 4) ({(2 x)}^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 1.2.2.6

Factorisez.

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Étape 1.2.2.6.1

Factorisez.

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Étape 1.2.2.6.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

$6 ((x - 4) ((2 x + 3) (2 x - 3))) = 0$

Étape 1.2.2.6.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((x - 4) (2 x + 3) (2 x - 3)) = 0$

Étape 1.2.2.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 4) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.5

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.6

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 4) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = 4, - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $6 x^{4} - 32 x^{3} - 27 x^{2} + 216 x + 29$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$6 {(4)}^{4} - 32 {(4)}^{3} - 27 {(4)}^{2} + 216 (4) + 29$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$6 \cdot 256 - 32 {(4)}^{3} - 27 {(4)}^{2} + 216 (4) + 29$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $6$ par $256$ .

$1536 - 32 {(4)}^{3} - 27 {(4)}^{2} + 216 (4) + 29$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$1536 - 32 \cdot 64 - 27 {(4)}^{2} + 216 (4) + 29$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 32$ par $64$ .

$1536 - 2048 - 27 {(4)}^{2} + 216 (4) + 29$

Étape 1.4.1.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$1536 - 2048 - 27 \cdot 16 + 216 (4) + 29$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $- 27$ par $16$ .

$1536 - 2048 - 432 + 216 (4) + 29$

Étape 1.4.1.2.1.7

Multipliez $216$ par $4$ .

$1536 - 2048 - 432 + 864 + 29$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $2048$ de $1536$ .

$- 512 - 432 + 864 + 29$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $432$ de $- 512$ .

$- 944 + 864 + 29$

Étape 1.4.1.2.2.3

Additionnez $- 944$ et $864$ .

$- 80 + 29$

Étape 1.4.1.2.2.4

Additionnez $- 80$ et $29$ .

$- 51$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - \frac{3}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{3}{2}$ .

$6 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$6 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$6 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$6 \frac{81}{2^{4}} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$6 (\frac{81}{16}) - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{81}{16} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{81}{2 \cdot 8} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{81}{2 \cdot 8} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{81}{8}) - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.7

Associez $3$ et $\frac{81}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 81}{8} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.8

Multipliez $3$ par $81$ .

$\frac{243}{8} - 32 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.2.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{8} - 32 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{8} - 32 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{243}{8} - 32 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{243}{8} - 32 (- \frac{27}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{243}{8} - 32 (- \frac{27}{8}) - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.13

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.4.2.2.1.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{243}{8} - 32 (\frac{- 27}{8}) - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.13.2

Factorisez $8$ à partir de $- 32$ .

$\frac{243}{8} + 8 (- 4) \frac{- 27}{8} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{243}{8} + 8 \cdot - 4 \frac{- 27}{8} - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{243}{8} - 4 \cdot - 27 - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.14

Multipliez $- 4$ par $- 27$ .

$\frac{243}{8} + 108 - 27 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.15

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.15.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{8} + 108 - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.15.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{8} + 108 - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.16

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{243}{8} + 108 - 27 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.17

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{243}{8} + 108 - 27 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.18

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{243}{8} + 108 - 27 \frac{9}{2^{2}} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{243}{8} + 108 - 27 (\frac{9}{4}) + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.20

Multipliez $- 27 (\frac{9}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.20.1

Associez $- 27$ et $\frac{9}{4}$ .

$\frac{243}{8} + 108 + \frac{- 27 \cdot 9}{4} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.20.2

Multipliez $- 27$ par $9$ .

$\frac{243}{8} + 108 + \frac{- 243}{4} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{243}{8} + 108 - \frac{243}{4} + 216 (- \frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.22

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.22.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{243}{8} + 108 - \frac{243}{4} + 216 (\frac{- 3}{2}) + 29$

Étape 1.4.2.2.1.22.2

Factorisez $2$ à partir de $216$ .

$\frac{243}{8} + 108 - \frac{243}{4} + 2 (108) \frac{- 3}{2} + 29$

Étape 1.4.2.2.1.22.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{243}{8} + 108 - \frac{243}{4} + 2 \cdot 108 \frac{- 3}{2} + 29$

Étape 1.4.2.2.1.22.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{243}{8} + 108 - \frac{243}{4} + 108 \cdot - 3 + 29$

Étape 1.4.2.2.1.23

Multipliez $108$ par $- 3$ .

$\frac{243}{8} + 108 - \frac{243}{4} - 324 + 29$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Écrivez $108$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108}{1} - \frac{243}{4} - 324 + 29$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{108}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{243}{4} - 324 + 29$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{108}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243}{4} - 324 + 29$

Étape 1.4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - (\frac{243}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 324 + 29$

Étape 1.4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 324 + 29$

Étape 1.4.2.2.2.6

Écrivez $- 324$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 324}{1} + 29$

Étape 1.4.2.2.2.7

Multipliez $\frac{- 324}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 324}{1} \cdot \frac{8}{8} + 29$

Étape 1.4.2.2.2.8

Multipliez $\frac{- 324}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 324 \cdot 8}{8} + 29$

Étape 1.4.2.2.2.9

Écrivez $29$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 324 \cdot 8}{8} + \frac{29}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.10

Multipliez $\frac{29}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 324 \cdot 8}{8} + \frac{29}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 1.4.2.2.2.11

Multipliez $\frac{29}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 324 \cdot 8}{8} + \frac{29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.2.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 324 \cdot 8}{8} + \frac{29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.2.2.2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{243}{8} + \frac{108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{8} + \frac{- 324 \cdot 8}{8} + \frac{29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{243 + 108 \cdot 8 - 243 \cdot 2 - 324 \cdot 8 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Multipliez $108$ par $8$ .

$\frac{243 + 864 - 243 \cdot 2 - 324 \cdot 8 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Multipliez $- 243$ par $2$ .

$\frac{243 + 864 - 486 - 324 \cdot 8 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Multipliez $- 324$ par $8$ .

$\frac{243 + 864 - 486 - 2592 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.2.2.4.4

Multipliez $29$ par $8$ .

$\frac{243 + 864 - 486 - 2592 + 232}{8}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Additionnez $243$ et $864$ .

$\frac{1107 - 486 - 2592 + 232}{8}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Soustrayez $486$ de $1107$ .

$\frac{621 - 2592 + 232}{8}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Soustrayez $2592$ de $621$ .

$\frac{- 1971 + 232}{8}$

Étape 1.4.2.2.5.4

Additionnez $- 1971$ et $232$ .

$\frac{- 1739}{8}$

Étape 1.4.2.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1739}{8}$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = \frac{3}{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{3}{2}$ .

$6 {(\frac{3}{2})}^{4} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$6 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$6 \frac{81}{2^{4}} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$6 (\frac{81}{16}) - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{81}{16} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{81}{2 \cdot 8} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{81}{2 \cdot 8} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{81}{8}) - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.5

Associez $3$ et $\frac{81}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 81}{8} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.6

Multipliez $3$ par $81$ .

$\frac{243}{8} - 32 {(\frac{3}{2})}^{3} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{8} - 32 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{243}{8} - 32 \frac{27}{2^{3}} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{243}{8} - 32 (\frac{27}{8}) - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.10

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.4.3.2.1.10.1

Factorisez $8$ à partir de $- 32$ .

$\frac{243}{8} + 8 (- 4) \frac{27}{8} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{243}{8} + 8 \cdot - 4 \frac{27}{8} - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{243}{8} - 4 \cdot 27 - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.11

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$\frac{243}{8} - 108 - 27 {(\frac{3}{2})}^{2} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.12

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{8} - 108 - 27 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.13

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{243}{8} - 108 - 27 \frac{9}{2^{2}} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{243}{8} - 108 - 27 (\frac{9}{4}) + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.15

Multipliez $- 27 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 1.4.3.2.1.15.1

Associez $- 27$ et $\frac{9}{4}$ .

$\frac{243}{8} - 108 + \frac{- 27 \cdot 9}{4} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.15.2

Multipliez $- 27$ par $9$ .

$\frac{243}{8} - 108 + \frac{- 243}{4} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{243}{8} - 108 - \frac{243}{4} + 216 (\frac{3}{2}) + 29$

Étape 1.4.3.2.1.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.17.1

Factorisez $2$ à partir de $216$ .

$\frac{243}{8} - 108 - \frac{243}{4} + 2 (108) \frac{3}{2} + 29$

Étape 1.4.3.2.1.17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{243}{8} - 108 - \frac{243}{4} + 2 \cdot 108 \frac{3}{2} + 29$

Étape 1.4.3.2.1.17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{243}{8} - 108 - \frac{243}{4} + 108 \cdot 3 + 29$

Étape 1.4.3.2.1.18

Multipliez $108$ par $3$ .

$\frac{243}{8} - 108 - \frac{243}{4} + 324 + 29$

Étape 1.4.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Écrivez $- 108$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108}{1} - \frac{243}{4} + 324 + 29$

Étape 1.4.3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 108}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{243}{4} + 324 + 29$

Étape 1.4.3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 108}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243}{4} + 324 + 29$

Étape 1.4.3.2.2.4

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - (\frac{243}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 324 + 29$

Étape 1.4.3.2.2.5

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 324 + 29$

Étape 1.4.3.2.2.6

Écrivez $324$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{324}{1} + 29$

Étape 1.4.3.2.2.7

Multipliez $\frac{324}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{324}{1} \cdot \frac{8}{8} + 29$

Étape 1.4.3.2.2.8

Multipliez $\frac{324}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{324 \cdot 8}{8} + 29$

Étape 1.4.3.2.2.9

Écrivez $29$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{324 \cdot 8}{8} + \frac{29}{1}$

Étape 1.4.3.2.2.10

Multipliez $\frac{29}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{324 \cdot 8}{8} + \frac{29}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 1.4.3.2.2.11

Multipliez $\frac{29}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{324 \cdot 8}{8} + \frac{29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.3.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{324 \cdot 8}{8} + \frac{29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.3.2.2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{243}{8} + \frac{- 108 \cdot 8}{8} - \frac{243 \cdot 2}{8} + \frac{324 \cdot 8}{8} + \frac{29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{243 - 108 \cdot 8 - 243 \cdot 2 + 324 \cdot 8 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.4.1

Multipliez $- 108$ par $8$ .

$\frac{243 - 864 - 243 \cdot 2 + 324 \cdot 8 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.3.2.4.2

Multipliez $- 243$ par $2$ .

$\frac{243 - 864 - 486 + 324 \cdot 8 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.3.2.4.3

Multipliez $324$ par $8$ .

$\frac{243 - 864 - 486 + 2592 + 29 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.3.2.4.4

Multipliez $29$ par $8$ .

$\frac{243 - 864 - 486 + 2592 + 232}{8}$

Étape 1.4.3.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.3.2.5.1

Soustrayez $864$ de $243$ .

$\frac{- 621 - 486 + 2592 + 232}{8}$

Étape 1.4.3.2.5.2

Soustrayez $486$ de $- 621$ .

$\frac{- 1107 + 2592 + 232}{8}$

Étape 1.4.3.2.5.3

Additionnez $- 1107$ et $2592$ .

$\frac{1485 + 232}{8}$

Étape 1.4.3.2.5.4

Additionnez $1485$ et $232$ .

$\frac{1717}{8}$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(4, - 51), (- \frac{3}{2}, - \frac{1739}{8}), (\frac{3}{2}, \frac{1717}{8})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 5$ .

$6 {(- 5)}^{4} - 32 {(- 5)}^{3} - 27 {(- 5)}^{2} + 216 (- 5) + 29$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$6 \cdot 625 - 32 {(- 5)}^{3} - 27 {(- 5)}^{2} + 216 (- 5) + 29$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $6$ par $625$ .

$3750 - 32 {(- 5)}^{3} - 27 {(- 5)}^{2} + 216 (- 5) + 29$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$3750 - 32 \cdot - 125 - 27 {(- 5)}^{2} + 216 (- 5) + 29$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 32$ par $- 125$ .

$3750 + 4000 - 27 {(- 5)}^{2} + 216 (- 5) + 29$

Étape 2.1.2.1.5

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$3750 + 4000 - 27 \cdot 25 + 216 (- 5) + 29$

Étape 2.1.2.1.6

Multipliez $- 27$ par $25$ .

$3750 + 4000 - 675 + 216 (- 5) + 29$

Étape 2.1.2.1.7

Multipliez $216$ par $- 5$ .

$3750 + 4000 - 675 - 1080 + 29$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $3750$ et $4000$ .

$7750 - 675 - 1080 + 29$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $675$ de $7750$ .

$7075 - 1080 + 29$

Étape 2.1.2.2.3

Soustrayez $1080$ de $7075$ .

$5995 + 29$

Étape 2.1.2.2.4

Additionnez $5995$ et $29$ .

$6024$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$6 {(5)}^{4} - 32 {(5)}^{3} - 27 {(5)}^{2} + 216 (5) + 29$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$6 \cdot 625 - 32 {(5)}^{3} - 27 {(5)}^{2} + 216 (5) + 29$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $6$ par $625$ .

$3750 - 32 {(5)}^{3} - 27 {(5)}^{2} + 216 (5) + 29$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$3750 - 32 \cdot 125 - 27 {(5)}^{2} + 216 (5) + 29$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 32$ par $125$ .

$3750 - 4000 - 27 {(5)}^{2} + 216 (5) + 29$

Étape 2.2.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$3750 - 4000 - 27 \cdot 25 + 216 (5) + 29$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 27$ par $25$ .

$3750 - 4000 - 675 + 216 (5) + 29$

Étape 2.2.2.1.7

Multipliez $216$ par $5$ .

$3750 - 4000 - 675 + 1080 + 29$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $4000$ de $3750$ .

$- 250 - 675 + 1080 + 29$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $675$ de $- 250$ .

$- 925 + 1080 + 29$

Étape 2.2.2.2.3

Additionnez $- 925$ et $1080$ .

$155 + 29$

Étape 2.2.2.2.4

Additionnez $155$ et $29$ .

$184$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 5, 6024), (5, 184)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 5, 6024)$

Minimum absolu : $(- \frac{3}{2}, - \frac{1739}{8})$

Étape 4