Calcul infinitésimal Exemples

$y = - e^{x}$ ; $y = 0$ ; $- 2 \leq x \leq 1$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$- e^{x} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $- e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.1.2.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$e^{x} = 0$

Étape 1.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 1.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} 0 d x - \int_{- 2}^{1} - e^{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 2$ et $1$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 2}^{1} 0 - (- e^{x}) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $- e^{x}$ de $0$ .

$\int_{- 2}^{1} - (- e^{x}) d x$

Étape 3.3

Multipliez $- (- e^{x})$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 e^{x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x}$

$\int_{- 2}^{1} e^{x} d x$

Étape 3.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x}]_{- 2}^{1}$

Étape 3.5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Évaluez $e^{x}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$(e^{1}) - e^{- 2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez

$e - e^{- 2}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - \frac{1}{e^{2}}$

Étape 5