Calcul infinitésimal Exemples

$x {(16 - x)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 16 - x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.1.3.9

Multipliez ${(16 - x)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Factorisez ${(16 - x)}^{2}$ à partir de $x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3}$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez ${(16 - x)}^{2}$ à partir de $x (- 3 {(16 - x)}^{2})$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{3}$

Étape 1.1.4.1.2

Factorisez ${(16 - x)}^{2}$ à partir de ${(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Étape 1.1.4.1.3

Factorisez ${(16 - x)}^{2}$ à partir de ${(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 16 - x)$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 16 - x)$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$ .

${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(16 - x)}^{2} = 0$

$- 4 x + 16 = 0$

Étape 2.3

Définissez ${(16 - x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez ${(16 - x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(16 - x)}^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez ${(16 - x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez le $16 - x$ égal à $0$ .

$16 - x = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 16$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x = 16$

Étape 2.4

Définissez $- 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $- 4 x + 16$ égal à $0$ .

$- 4 x + 16 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $- 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 16$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 16$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 16$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 4}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 4$ .

$x = 4$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 16, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x {(16 - x)}^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 16$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $16$ .

$(16) {(16 - (16))}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$16 {(16 - 16)}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$16 \cdot 0^{3}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$16 \cdot 0$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $16$ par $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$(4) {(16 - (4))}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 {(16 - 4)}^{3}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $16$ .

$4 \cdot 12^{3}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $12$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 1728$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $4$ par $1728$ .

$6912$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(16, 0), (4, 6912)$

Étape 5