Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.3.10

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.1.1.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.1.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.1.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.4.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.4.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Étape 1.1.1.4.6

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.4.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Étape 1.1.1.4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Étape 1.1.1.4.6.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Étape 1.1.1.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Étape 1.1.1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.5.4.1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.2

Associez $- 14$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.2.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{14}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.3.8

Multipliez $- 3$ par $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Étape 1.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 1.1.2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 1.1.2.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Étape 1.1.2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Étape 1.1.2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 1.1.2.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 1.1.2.4.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 1.1.2.4.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 1.1.2.4.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.4.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 1.1.2.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 1.1.2.4.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

Étape 1.1.2.4.8

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Étape 1.1.2.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

Étape 1.1.2.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 1.1.2.5.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.5.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 1.1.2.5.4.2

Associez $42$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 1.1.2.5.4.3

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

Étape 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

Étape 1.2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.2.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.2.2.6

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 1.2.2.7

Les facteurs pour $x^{4}$ sont $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $4$ fois.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $4$ fois.

Étape 1.2.2.8

Les facteurs pour $x^{5}$ sont $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $5$ fois.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $5$ fois.

Étape 1.2.2.9

Le plus petit multiple commun de $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Étape 1.2.2.10

Simplifiez $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Étape 1.2.2.10.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Étape 1.2.2.10.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.10.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.10.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Étape 1.2.2.10.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Étape 1.2.2.10.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Étape 1.2.2.10.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.10.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.10.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Étape 1.2.2.10.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Étape 1.2.2.10.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Étape 1.2.2.10.4

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.10.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.10.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Étape 1.2.2.10.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4 + 1}$

Étape 1.2.2.10.4.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{5}$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ par $x^{5}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ par $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 42 x + 12$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $42 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Étape 1.2.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (21 x)$ .

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Étape 1.2.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ .

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

Étape 1.2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2} + 21 x + 6$ par $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

Étape 1.2.4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 21$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.1.1

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.5.1.3

Soustrayez $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.6.1.1

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 1.2.4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.1.3

Soustrayez $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.6.4

Réécrivez $- 21$ comme $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

Étape 1.2.4.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

Étape 1.2.4.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.7.1.1

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 1.2.4.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.7.1.3

Soustrayez $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.7.4

Réécrivez $- 21$ comme $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

Étape 1.2.4.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

Étape 1.2.4.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Étape 1.2.4.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{7}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.5.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.5.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 23$ dans l’expression.

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 23$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 23$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 23$ à la puissance $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $\frac{2}{- 12167}$ par $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $\frac{2}{- 12167}$ par $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $\frac{42}{279841}$ par $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $\frac{42}{279841}$ par $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $\frac{12}{- 6436343}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.1.9

Multipliez $\frac{12}{- 6436343}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Étape 4.2.1.10

Multipliez $- 12167$ par $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Étape 4.2.1.11

Réorganisez les facteurs de $279841 \cdot 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Étape 4.2.1.12

Multipliez $23$ par $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Étape 4.2.1.13

Multipliez $- 6436343$ par $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $42$ par $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 1058$ et $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $12$ de $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

Étape 4.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ car $f'' (- 23)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $\frac{2}{- 27}$ par $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $\frac{2}{- 27}$ par $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $\frac{42}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $\frac{42}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $\frac{12}{- 243}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.2.1.9

Multipliez $\frac{12}{- 243}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $- 27$ par $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Étape 5.2.1.11

Réorganisez les facteurs de $81 \cdot 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Étape 5.2.1.12

Multipliez $3$ par $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Étape 5.2.1.13

Multipliez $- 243$ par $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $42$ par $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 18$ et $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $12$ de $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun à $96$ et $243$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $96$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

Étape 5.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $243$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Étape 5.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Étape 5.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.14$ dans l’expression.

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.14$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $2$ par $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 0.14$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Étape 6.2.1.4

Divisez $42$ par $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $- 0.14$ à la puissance $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

Étape 6.2.1.6

Divisez $12$ par $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 728.86297376$ et $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $223121.31849824$ de $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ car $f'' (- 0.14)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $\frac{2}{8}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $\frac{2}{8}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $\frac{42}{16}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $\frac{42}{16}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.8

Réorganisez les facteurs de $8 \cdot 4$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $4$ par $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.10

Réorganisez les facteurs de $16 \cdot 2$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $2$ par $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Étape 7.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $42$ par $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

Étape 7.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Additionnez $8$ et $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

Étape 7.2.4.2

Additionnez $92$ et $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

Étape 7.2.4.3

Annulez le facteur commun à $104$ et $32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.3.1

Factorisez $8$ à partir de $104$ .

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

Étape 7.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Étape 7.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Étape 7.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9