Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Étape 1.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} e^{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 1.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Étape 1.1.2.4.2.2

Additionnez $e^{x} (4 x^{3})$ et $4 x^{3} e^{x}$ .

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Étape 1.1.2.4.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Étape 1.1.2.4.2.2.2

Additionnez $4 x^{3} e^{x}$ et $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Étape 1.1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Étape 1.1.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{4} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $8 x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 8 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $8$ .

$2, 6$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 1.2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.7

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, - 6$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f'' (- 8) = {(- 8)}^{4} e^{- 8} + 8 {(- 8)}^{3} e^{- 8} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 8) = 4096 e^{- 8} + 8 {(- 8)}^{3} e^{- 8} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 8) = 4096 (\frac{1}{e^{8}}) + 8 {(- 8)}^{3} e^{- 8} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.3

Associez $4096$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} + 8 {(- 8)}^{3} e^{- 8} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.4

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} + 8 \cdot (- 512 e^{- 8}) + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $8$ par $- 512$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} - 4096 e^{- 8} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} - 4096 \frac{1}{e^{8}} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.7

Associez $- 4096$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} + \frac{- 4096}{e^{8}} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} - \frac{4096}{e^{8}} + 12 {(- 8)}^{2} e^{- 8}$

Étape 4.2.1.9

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} - \frac{4096}{e^{8}} + 12 \cdot (64 e^{- 8})$

Étape 4.2.1.10

Multipliez $12$ par $64$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} - \frac{4096}{e^{8}} + 768 e^{- 8}$

Étape 4.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} - \frac{4096}{e^{8}} + 768 (\frac{1}{e^{8}})$

Étape 4.2.1.12

Associez $768$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 8) = \frac{4096}{e^{8}} - \frac{4096}{e^{8}} + \frac{768}{e^{8}}$

Étape 4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 8) = \frac{4096 - 4096 + 768}{e^{8}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $4096$ de $4096$ .

$f'' (- 8) = \frac{0 + 768}{e^{8}}$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $768$ .

$f'' (- 8) = \frac{768}{e^{8}}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{768}{e^{8}}$ .

$\frac{768}{e^{8}}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 6)$ car $f'' (- 8)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 6, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.3

Associez $256$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $8$ par $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.7

Associez $- 512$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 5.2.1.9

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $12$ par $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

Étape 5.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

Étape 5.2.1.12

Associez $192$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.2.1

Soustrayez $512$ de $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

Étape 5.2.2.2.2

Additionnez $- 256$ et $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

Étape 5.2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 6, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 6, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $e^{- 1}$ par $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.7

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 6.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

Étape 6.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

Étape 6.2.1.12

Associez $12$ et $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 2, 0)$ car $f'' (- 1)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 2, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = {(2)}^{4} e^{2} + 8 {(2)}^{3} e^{2} + 12 {(2)}^{2} e^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (2) = 16 e^{2} + 8 {(2)}^{3} e^{2} + 12 {(2)}^{2} e^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = 16 e^{2} + 8 \cdot (8 e^{2}) + 12 {(2)}^{2} e^{2}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$f'' (2) = 16 e^{2} + 64 e^{2} + 12 {(2)}^{2} e^{2}$

Étape 7.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = 16 e^{2} + 64 e^{2} + 12 \cdot (4 e^{2})$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (2) = 16 e^{2} + 64 e^{2} + 48 e^{2}$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $16 e^{2}$ et $64 e^{2}$ .

$f'' (2) = 80 e^{2} + 48 e^{2}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $80 e^{2}$ et $48 e^{2}$ .

$f'' (2) = 128 e^{2}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $128 e^{2}$ .

$128 e^{2}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 6, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 2, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9