Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - e^{x} (x - 1)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x} (x - 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1))$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = - (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Étape 1.1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Étape 1.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = - (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Étape 1.1.1.3.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = - (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - (e^{x} + (x - 1) e^{x})$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x})$

Étape 1.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - e^{x} - (x e^{x}) - (- 1 e^{x})$

Étape 1.1.1.5.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.5.3.1

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + e^{x}$

Étape 1.1.1.5.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}$

Étape 1.1.1.5.3.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + e^{x}$

Étape 1.1.1.5.3.4

Additionnez $- e^{x}$ et $e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 0$

Étape 1.1.1.5.3.5

Additionnez $- x e^{x}$ et $0$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

Étape 1.1.1.5.4

Réorganisez les facteurs de $- x e^{x}$ .

$f' (x) = - e^{x} x$

Étape 1.1.1.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} x$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x})$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x}$

Étape 1.1.2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - e^{x} x - e^{x}$

Étape 1.1.2.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} x - e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} - e^{x}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x e^{x} - e^{x}$ .

$- x e^{x} - e^{x}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x e^{x} - e^{x} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- x e^{x} - e^{x} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- x e^{x} - e^{x}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) - e^{x} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (- x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.5

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ .

$- x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $- x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x = - 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (- x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 4 \cdot e^{- 4} - e^{- 4}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} - e^{- 4}$

Étape 4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{4}{e^{4}} - e^{- 4}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e^{4}}$

Étape 4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 4) = \frac{4 - 1}{e^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{3}{e^{4}}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{e^{4}}$ .

$\frac{3}{e^{4}}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - e^{0}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{0}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

Étape 5.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 1, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7