Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 5 x$ et $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.10

Multipliez.

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Étape 2.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.10.2

Multipliez $x^{2} + 5 x$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.12

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 5 x$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Développez $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.2.1

Multipliez $2$ par $25$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.2

Multipliez $25$ par $5$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.3.2.1

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2.2

Additionnez $50 x + 125 - 5 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.3

Additionnez $- 5 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

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Étape 2.1.3.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $50 x$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.3.5.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 2.1.3.5.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.3.6.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.4

Appliquez la règle de produit à $(5 + x) (5 - x)$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7

Annulez le facteur commun à ${(x + 5)}^{2}$ et ${(5 + x)}^{2}$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 = 0$

Étape 3.3

Comme $5 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(5 - x)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $5 - x$ égal à $0$ .

$5 - x = 0$

Étape 5.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 5.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 6

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ augmente et diminue est $(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$ .

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - (4))}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f' (4) = \frac{5}{1^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$f' (4) = 5$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 7.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $5$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 5)$ .

Augmente sur $(- \infty, 5)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - (6))}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - 6)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = \frac{5}{1}$

Étape 8.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$f' (6) = 5$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 8.3

Sur $x = 6$ la dérivée est $5$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(5, \infty)$ .

Augmente sur $(5, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 5), (5, \infty)$

Étape 10