Calcul infinitésimal Exemples

${(6 (\cos (60 °) + i \sin (60 °)))}^{3}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

La valeur exacte de $\cos (60 °)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \sin (60 °)))}^{3}$

Étape 1.1.2

La valeur exacte de $\sin (60 °)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Étape 1.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(6 (\frac{1}{2}) + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

${(2 (3) \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${(3 + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

${(3 + 2 (3) \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

${(3 + 2 \cdot 3 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

${(3 + 3 (i \sqrt{3}))}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

$3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 + 3^{1 + 2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$27 + 3^{3} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.3

Multipliez $3^{3}$ par $3$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $3$ par $3^{3}$ .

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Étape 3.1.3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 + 3^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$27 + 3^{4} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$27 + 81 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 ({(3 i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (3^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.8

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.9

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{1}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.11

Multipliez $9 (- 9 \cdot 3)$ .

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Étape 3.1.11.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 \cdot - 27 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.11.2

Multipliez $9$ par $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 3.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 3.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 3^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 3.1.13

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 3.1.14

Factorisez $i^{2}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 3.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 3.1.16

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- i) {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 3.1.17

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 3.1.18

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{3}}$

Étape 3.1.19

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{27}$

Étape 3.1.20

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.20.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{9 (3)}$

Étape 3.1.20.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Étape 3.1.21

Extrayez les termes de sous le radical.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i (3 \sqrt{3})$

Étape 3.1.22

Multipliez $3$ par $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 81 i \sqrt{3}$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $243$ de $27$ .

$81 i \sqrt{3} - 216 - 81 i \sqrt{3}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $81 i \sqrt{3}$ de $81 i \sqrt{3}$ .

$0 - 216$

Étape 3.2.3

Soustrayez $216$ de $0$ .

$- 216$