Calcul infinitésimal Exemples

$2 x e^{- x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $2 x e^{- x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.4

Différenciez.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.1.10

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Étape 2.1.11

Simplifiez

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Étape 2.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.1.11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.1.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2} e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 2.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 2.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 2.2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2}))$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

Étape 2.2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

Étape 2.2.3.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = 8 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} e^{- x^{2}} - 8 (e^{- x^{2}} (x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.2.4.2.3

Soustrayez $4 e^{- x^{2}} x$ de $- 8 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 8 e^{- x^{2}} x^{3} - 12 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{- x^{2}} x^{3} - 12 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$ .

$8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $4 x e^{- x^{2}}$ à partir de $8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $4 x e^{- x^{2}}$ à partir de $8 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 12 x e^{- x^{2}} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $4 x e^{- x^{2}}$ à partir de $- 12 x e^{- x^{2}}$ .

$4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 4 x e^{- x^{2}} (- 3) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $4 x e^{- x^{2}}$ à partir de $4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 4 x e^{- x^{2}} (- 3)$ .

$4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $e^{- x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 3.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 3.6

Définissez $2 x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $2 x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $2 x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 3$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 3.6.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.6.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.6.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.6.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.6.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.6.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.6.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.6.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.6.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.6.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 3.6.2.4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.6.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.6.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.6.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 (0) \cdot e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{- 0}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{0}$

Étape 4.1.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.1.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 4.3

Remplacez $\frac{\sqrt{6}}{2}$ dans $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{1}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{4}}$

Étape 4.3.2.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 (3)}{4}}$

Étape 4.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 4.3.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.2.7

Associez $\sqrt{6}$ et $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3.2.8

La réponse finale est $\frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt{6}}{2}$ dans $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ est $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Étape 4.5

Remplacez $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ dans $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- \sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Étape 4.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- \sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Étape 4.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Étape 4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2})}$

Étape 4.5.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 4.5.2.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.2.3.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.5.2.3.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 4.5.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 4.5.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.5.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.5.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{1}}{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{4}}$

Étape 4.5.2.7

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 (3)}{4}}$

Étape 4.5.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.5.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.5.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 4.5.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.9

Associez $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ et $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.10

La réponse finale est $- \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ dans $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ est $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}), (- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.32474487$ dans l’expression.

$f'' (- 1.32474487) = 8 {(- 1.32474487)}^{3} e^{- {(- 1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.32474487$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.32474487) = 8 \cdot (- 2.32485965 e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}) - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 2.32485965$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 e^{- {(- 1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1.32474487$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 e^{- 1 \cdot 1.75494897} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 e^{- 1.75494897} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 \frac{1}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6

Associez $- 18.59887722$ et $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = \frac{- 18.59887722}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 1.32474487) = - \frac{18.59887722}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.8

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 1.32474487) = - \frac{18.59887722}{{2.71828182}^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.9

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - \frac{18.59887722}{5.78315264} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.10

Divisez $18.59887722$ par $5.78315264$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 1 \cdot 3.21604466 - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $3.21604466$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.12

Multipliez $- 12$ par $- 1.32474487$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Étape 6.2.1.13

Élevez $- 1.32474487$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot e^{- 1 \cdot 1.75494897}$

Étape 6.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot e^{- 1.75494897}$

Étape 6.2.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot \frac{1}{e^{1.75494897}}$

Étape 6.2.1.16

Associez $15.89693845$ et $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + \frac{15.89693845}{e^{1.75494897}}$

Étape 6.2.1.17

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + \frac{15.89693845}{{2.71828182}^{1.75494897}}$

Étape 6.2.1.18

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + \frac{15.89693845}{5.78315264}$

Étape 6.2.1.19

Divisez $15.89693845$ par $5.78315264$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 2.74883604$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 3.21604466$ et $2.74883604$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 0.46720862$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.46720862$ .

$- 0.46720862$

Étape 6.3

Sur $- 1.32474487$ , la dérivée seconde est $- 0.46720862$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$

Diminue sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.61237243$ dans l’expression.

$f'' (- 0.61237243) = 8 {(- 0.61237243)}^{3} e^{- {(- 0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.61237243$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.61237243) = 8 \cdot (- 0.22963966 e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}) - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 0.22963966$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 e^{- {(- 0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 0.61237243$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 e^{- 1 \cdot 0.375} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 e^{- 0.375} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 \frac{1}{e^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Associez $- 1.8371173$ et $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = \frac{- 1.8371173}{e^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 0.61237243) = - \frac{1.8371173}{e^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.8

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.61237243) = - \frac{1.8371173}{{2.71828182}^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.9

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - \frac{1.8371173}{1.45499141} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.10

Divisez $1.8371173$ par $1.45499141$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1 \cdot 1.26263102 - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $1.26263102$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.12

Multipliez $- 12$ par $- 0.61237243$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Étape 7.2.1.13

Élevez $- 0.61237243$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot e^{- 1 \cdot 0.375}$

Étape 7.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot e^{- 0.375}$

Étape 7.2.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot \frac{1}{e^{0.375}}$

Étape 7.2.1.16

Associez $7.34846922$ et $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + \frac{7.34846922}{e^{0.375}}$

Étape 7.2.1.17

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + \frac{7.34846922}{{2.71828182}^{0.375}}$

Étape 7.2.1.18

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + \frac{7.34846922}{1.45499141}$

Étape 7.2.1.19

Divisez $7.34846922$ par $1.45499141$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 5.05052411$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 1.26263102$ et $5.05052411$ .

$f'' (- 0.61237243) = 3.78789308$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3.78789308$ .

$3.78789308$

Étape 7.3

Sur $- 0.61237243$ , la dérivée seconde est $3.78789308$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ .

Augmente sur $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.61237243$ dans l’expression.

$f'' (0.61237243) = 8 {(0.61237243)}^{3} e^{- {(0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $0.61237243$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.61237243) = 8 \cdot (0.22963966 e^{- {(0.61237243)}^{2}}) - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $8$ par $0.22963966$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 e^{- {(0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $0.61237243$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 e^{- 1 \cdot 0.375} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 e^{- 0.375} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 (\frac{1}{e^{0.375}}) - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6

Associez $1.8371173$ et $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (0.61237243) = \frac{1.8371173}{e^{0.375}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (0.61237243) = \frac{1.8371173}{{2.71828182}^{0.375}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = \frac{1.8371173}{1.45499141} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9

Divisez $1.8371173$ par $1.45499141$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10

Multipliez $- 12$ par $0.61237243$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11

Élevez $0.61237243$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot e^{- 1 \cdot 0.375}$

Étape 8.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot e^{- 0.375}$

Étape 8.2.1.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot \frac{1}{e^{0.375}}$

Étape 8.2.1.14

Associez $- 7.34846922$ et $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 + \frac{- 7.34846922}{e^{0.375}}$

Étape 8.2.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - \frac{7.34846922}{e^{0.375}}$

Étape 8.2.1.16

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - \frac{7.34846922}{{2.71828182}^{0.375}}$

Étape 8.2.1.17

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - \frac{7.34846922}{1.45499141}$

Étape 8.2.1.18

Divisez $7.34846922$ par $1.45499141$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 1 \cdot 5.05052411$

Étape 8.2.1.19

Multipliez $- 1$ par $5.05052411$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 5.05052411$

Étape 8.2.2

Soustrayez $5.05052411$ de $1.26263102$ .

$f'' (0.61237243) = - 3.78789308$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 3.78789308$ .

$- 3.78789308$

Étape 8.3

Sur $0.61237243$ , la dérivée seconde est $- 3.78789308$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$

Diminue sur $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.32474487$ dans l’expression.

$f'' (1.32474487) = 8 {(1.32474487)}^{3} e^{- {(1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Élevez $1.32474487$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.32474487) = 8 \cdot (2.32485965 e^{- {(1.32474487)}^{2}}) - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $8$ par $2.32485965$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 e^{- {(1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $1.32474487$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 e^{- 1 \cdot 1.75494897} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 e^{- 1.75494897} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 (\frac{1}{e^{1.75494897}}) - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.6

Associez $18.59887722$ et $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (1.32474487) = \frac{18.59887722}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (1.32474487) = \frac{18.59887722}{{2.71828182}^{1.75494897}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = \frac{18.59887722}{5.78315264} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.9

Divisez $18.59887722$ par $5.78315264$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.10

Multipliez $- 12$ par $1.32474487$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Étape 9.2.1.11

Élevez $1.32474487$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot e^{- 1 \cdot 1.75494897}$

Étape 9.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot e^{- 1.75494897}$

Étape 9.2.1.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot \frac{1}{e^{1.75494897}}$

Étape 9.2.1.14

Associez $- 15.89693845$ et $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 + \frac{- 15.89693845}{e^{1.75494897}}$

Étape 9.2.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - \frac{15.89693845}{e^{1.75494897}}$

Étape 9.2.1.16

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - \frac{15.89693845}{{2.71828182}^{1.75494897}}$

Étape 9.2.1.17

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - \frac{15.89693845}{5.78315264}$

Étape 9.2.1.18

Divisez $15.89693845$ par $5.78315264$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 1 \cdot 2.74883604$

Étape 9.2.1.19

Multipliez $- 1$ par $2.74883604$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 2.74883604$

Étape 9.2.2

Soustrayez $2.74883604$ de $3.21604466$ .

$f'' (1.32474487) = 0.46720862$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $0.46720862$ .

$0.46720862$

Étape 9.3

Sur $1.32474487$ , la dérivée seconde est $0.46720862$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}), (0, 0), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}), (0, 0), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Étape 11