Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{12} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{4}{12}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 4$ .

$x^{2} - 4$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 4 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot {(2)}^{4} - 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f (2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 \cdot 4$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 8$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{4 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 24}{3}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $24$ de $4$ .

$f (2) = \frac{- 20}{3}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = - \frac{20}{3}$

Étape 4.1.2.7

La réponse finale est $- \frac{20}{3}$ .

$- \frac{20}{3}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$ est $(2, - \frac{20}{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, - \frac{20}{3})$

Étape 4.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 2 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + (- 2) {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{1 + 2}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 8$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.3.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{4 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 24}{3}$

Étape 4.3.2.5.2

Soustrayez $24$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 20}{3}$

Étape 4.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{20}{3}$

Étape 4.3.2.7

La réponse finale est $- \frac{20}{3}$ .

$- \frac{20}{3}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}$ est $(- 2, - \frac{20}{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - \frac{20}{3})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(2, - \frac{20}{3}), (- 2, - \frac{20}{3})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = {(- 2.1)}^{2} - 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 4.41 - 4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4$ de $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 0.41$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.41$ .

$0.41$

Étape 6.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $0.41$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 4$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 2)$

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = {(2.1)}^{2} - 4$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = 4.41 - 4$

Étape 8.2.2

Soustrayez $4$ de $4.41$ .

$f'' (2.1) = 0.41$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.41$ .

$0.41$

Étape 8.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $0.41$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - \frac{20}{3}), (2, - \frac{20}{3})$ .

$(- 2, - \frac{20}{3}), (2, - \frac{20}{3})$

Étape 10