Calcul infinitésimal Exemples

$x^{- \frac{1}{3}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = y^{- \frac{1}{3}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $y^{- \frac{1}{3}} = x$ .

$y^{- \frac{1}{3}} = x$

Étape 2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- 3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = x^{- 3}$

Étape 2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Simplifiez ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

Étape 2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

Étape 2.3.1.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = x^{- 3}$

Étape 2.3.1.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = x^{- 3}$

Étape 2.3.1.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y^{- 1 \cdot - 1} = x^{- 3}$

Étape 2.3.1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{1} = x^{- 3}$

Étape 2.3.1.1.2

Simplifiez

$y = x^{- 3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{x^{3}}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ est l’inverse de $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{{(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- \frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = 1 x$

Étape 4.2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{x^{3}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(\frac{1}{x^{3}})}^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4.3.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 4.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ est l’inverse de $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$