Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 1.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 1.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 1.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 1.1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 1.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 1.1.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.1.11

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.1.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.13

Simplifiez

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Étape 1.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.13.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.2.2

Associez $3$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.13

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.2.17

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.16

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.17

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.18

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.18.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.18.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.18.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.18.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Étape 1.2.3.19

Simplifiez

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.2.3.20

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.2.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.2.4.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.6

Associez $- 3$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.8

Pour écrire $- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.2.4.3.9

Pour écrire $\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.4.3.10.1

Multipliez $\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.7

Multipliez $\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.8

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.3.10.8.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Étape 1.2.4.3.10.8.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 1.2.4.3.10.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Étape 1.2.4.3.10.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 1.2.4.3.10.8.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.10.8.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.5.1.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.5.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 1.2.4.5.1.1.1.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x e^{- x} + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 x e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.2

Soustrayez $3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ de $- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.3

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 1.2.4.5.1.3.1

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.3.2

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 3 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.3.3

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 3 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 1.2.4.5.1.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.5

Associez les exposants.

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Étape 1.2.4.5.1.5.1

Factorisez le signe négatif.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.6

Pour écrire $2 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.7

Associez $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.5.1.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.5.1.9.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9.3

Simplifiez $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.9.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.10

Associez les exposants.

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Étape 1.2.4.5.1.10.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.10.2

Associez $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $- 3$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.10.3

Associez $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.11

Réduisez l’expression $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.5.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.12

Déplacez $- 3$ à gauche de $4 x + 1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.5.3

Multipliez $- \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 1.2.4.5.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.2.4.5.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.6

Pour écrire $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.7

Associez $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.9.1

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 3 (4 x + 1) e^{- x}$ .

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Étape 1.2.4.9.1.1

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.1.2

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $- 3 (4 x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 3 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.1.3

Factorisez $3 e^{- x}$ à partir de $3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 3 e^{- x} (- (4 x + 1))$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.9.2.1

Déplacez $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.2.5

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.9.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2.4.9.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.3.3

Définissez $4 x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $4 x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.3.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.3.3.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.3.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.4.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.4.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.3.2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.3.3.2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.3.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.5.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.5.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.3.2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.3.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.3.3.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.3.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $1.20710678$ dans $f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1.20710678$ dans l’expression.

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1.20710678$ .

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- 1.20710678}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} (\frac{1}{e^{1.20710678}})$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $3 \sqrt{1.20710678} \frac{1}{e^{1.20710678}}$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Associez $\frac{1}{e^{1.20710678}}$ et $3$ .

$f (1.20710678) = \frac{3}{e^{1.20710678}} \cdot \sqrt{1.20710678}$

Étape 3.1.2.4.2

Associez $\frac{3}{e^{1.20710678}}$ et $\sqrt{1.20710678}$ .

$f (1.20710678) = \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $\frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$ .

$\frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $1.20710678$ dans $f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$ est $(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 1.20710678) \cup (1.20710678, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1.20710678)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1.10710678$ dans l’expression.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 e^{- (1.10710678)} (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Placez $e^{- (1.10710678)}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $1.10710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4 \cdot 1.22568542 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $4$ par $1.22568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4.90274169 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 4$ par $1.10710678$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4.90274169 - 4.42842712 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.2.4

Soustrayez $4.42842712$ de $4.90274169$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (0.47431457 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.2.5

Soustrayez $1$ de $0.47431457$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $1.10710678$ comme ${1.05219141}^{2}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({({1.05219141}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{3} e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.3.4

Élevez $1.05219141$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot (1.16488825 e^{1.10710678})}$

Étape 5.2.3.5

Associez les exposants.

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Étape 5.2.3.5.1

Multipliez $4$ par $1.16488825$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4.65955301 e^{1.10710678}}$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $4.65955301$ par $e^{1.10710678}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{14.09790642}$

Étape 5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $3$ par $- 0.52568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{- 1.57705627}{14.09790642}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $- 1.57705627$ par $14.09790642$ .

$f'' (1.10710678) = - 0.11186457$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $- 0.11186457$ .

$- 0.11186457$

Étape 5.3

Sur $1.10710678$ , la dérivée seconde est $- 0.11186457$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 1.20710678)$

Diminue sur $(- \infty, 1.20710678)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1.20710678, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.30710678$ dans l’expression.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 e^{- (1.30710678)} (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Placez $e^{- (1.30710678)}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $1.30710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (4 \cdot 1.70852813 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $4$ par $1.70852813$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (6.83411254 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $- 4$ par $1.30710678$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (6.83411254 - 5.22842712 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.2.4

Soustrayez $5.22842712$ de $6.83411254$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (1.60568542 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.2.5

Soustrayez $1$ de $1.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez $1.30710678$ comme ${1.1432877}^{2}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({({1.1432877}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{3} e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.3.4

Élevez $1.1432877$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot (1.49439911 e^{1.30710678})}$

Étape 6.2.3.5

Associez les exposants.

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Étape 6.2.3.5.1

Multipliez $4$ par $1.49439911$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{5.97759645 e^{1.30710678}}$

Étape 6.2.3.5.2

Multipliez $5.97759645$ par $e^{1.30710678}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{22.09000709}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $3$ par $0.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{1.81705627}{22.09000709}$

Étape 6.2.4.2

Divisez $1.81705627$ par $22.09000709$ .

$f'' (1.30710678) = 0.08225693$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $0.08225693$ .

$0.08225693$

Étape 6.3

Sur $1.30710678$ , la dérivée seconde est $0.08225693$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1.20710678, \infty)$ .

Augmente sur $(1.20710678, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ .

$(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Étape 8