Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} {(1 - x)}^{6}$

Étape 1

Écrivez $x^{5} {(1 - x)}^{6}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{5} {(1 - x)}^{6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = {(1 - x)}^{6}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{6}] + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$x^{5} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5} \cdot 1) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + {(1 - x)}^{6} (5 x^{4})$

Étape 2.3.9

Déplacez $5$ à gauche de ${(1 - x)}^{6}$ .

$x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + 5 \cdot {(1 - x)}^{6} x^{4}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + 5 {(1 - x)}^{6} x^{4}$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5})$ .

$x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6)) + 5 {(1 - x)}^{6} x^{4}$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $5 {(1 - x)}^{6} x^{4}$ .

$x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6)) + x^{4} {(1 - x)}^{5} (5 (1 - x))$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6)) + x^{4} {(1 - x)}^{5} (5 (1 - x))$ .

$x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6) + 5 (1 - x))$

Étape 2.4.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 \cdot 1 + 5 (- x)))$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 + 5 (- x)))$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 - 5 x))$

Étape 3.1.2

Soustrayez $5 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 11 x + 5))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5}$ et $g (x) = - 11 x + 5$ .

$f'' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (- 11 x + 5) + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 11 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (\frac{d}{d x} (- 11 x) + \frac{d}{d x} (5)) + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.3.2

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 11 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)) + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)) + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 11 + \frac{d}{d x} (5)) + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 11 + 0) + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $- 11$ et $0$ .

$f'' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} \cdot - 11 + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $- 11$ à gauche de $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ .

$f'' (x) = - 11 \cdot (x^{4} {(1 - x)}^{5}) + (- 11 x + 5) \frac{d}{d x} (x^{4} {(1 - x)}^{5})$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = {(1 - x)}^{5}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{5}) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (1 - x)) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} (1 - x)) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (5 {(1 - x)}^{4} \frac{d}{d x} (1 - x)) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (5 {(1 - x)}^{4} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (5 {(1 - x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (5 {(1 - x)}^{4} \frac{d}{d x} (- x)) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (5 {(1 - x)}^{4} (- \frac{d}{d x} x)) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4} \frac{d}{d x} x) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4} \cdot 1) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6.7

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 3.6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + {(1 - x)}^{5} (4 x^{3}))$

Étape 3.6.9

Déplacez $4$ à gauche de ${(1 - x)}^{5}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 \cdot ({(1 - x)}^{5} x^{3}))$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Factorisez $1$ à partir de $- 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$ .

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Étape 3.7.1.1

Factorisez $1$ à partir de $- 11 x^{4} {(1 - x)}^{5}$ .

$f'' (x) = 1 (- 11 x^{4} {(1 - x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$ .

$f'' (x) = 1 (- 11 x^{4} {(1 - x)}^{5}) + 1 ((- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3}))$

Étape 3.7.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 (- 11 x^{4} {(1 - x)}^{5}) + 1 ((- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3}))$ .

$f'' (x) = 1 (- 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3}))$

Étape 3.7.2

Multipliez $- 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} {(1 - x)}^{5} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- x)) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 + 5 \cdot (1^{4} (- x)) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 + 5 \cdot (1 (- x)) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 + 5 (- x) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 \cdot (1 {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 {(- x)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 (1 x^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.11

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 {(- x)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.12

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 (- x^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.14

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.15

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 {(- x)}^{4} + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.16

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.17

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 (1 x^{4}) + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.18

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 x^{4} + {(- x)}^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.19

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 x^{4} + {(- 1)}^{5} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.2.20

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 x^{4} - x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 11 x^{4} \cdot 1 - 11 x^{4} (- 5 x) - 11 x^{4} (10 x^{2}) - 11 x^{4} (- 10 x^{3}) - 11 x^{4} (5 x^{4}) - 11 x^{4} (- x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.4

Simplifiez

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Étape 3.7.3.4.1

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 x^{4} (- 5 x) - 11 x^{4} (10 x^{2}) - 11 x^{4} (- 10 x^{3}) - 11 x^{4} (5 x^{4}) - 11 x^{4} (- x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 x^{4} x) - 11 x^{4} (10 x^{2}) - 11 x^{4} (- 10 x^{3}) - 11 x^{4} (5 x^{4}) - 11 x^{4} (- x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 x^{4} x) - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 x^{4} (- 10 x^{3}) - 11 x^{4} (5 x^{4}) - 11 x^{4} (- x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 x^{4} x) - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 x^{4} (5 x^{4}) - 11 x^{4} (- x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 x^{4} x) - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 x^{4} (- x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.4.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 x^{4} x) - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.3.5.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.5.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 (x \cdot x^{4})) - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.7.3.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 x^{1 + 4}) - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} - 11 \cdot (- 5 x^{5}) - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.2

Multipliez $- 11$ par $- 5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 11 \cdot (10 x^{4} x^{2}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.5.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 11 \cdot (10 (x^{2} x^{4})) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 11 \cdot (10 x^{2 + 4}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 11 \cdot (10 x^{6}) - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.4

Multipliez $- 11$ par $10$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} - 11 \cdot (- 10 x^{4} x^{3}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.5.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} - 11 \cdot (- 10 (x^{3} x^{4})) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} - 11 \cdot (- 10 x^{3 + 4}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.5.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} - 11 \cdot (- 10 x^{7}) - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.6

Multipliez $- 11$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 11 \cdot (5 x^{4} x^{4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.7

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.5.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 11 \cdot (5 (x^{4} x^{4})) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 11 \cdot (5 x^{4 + 4}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.7.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 11 \cdot (5 x^{8}) - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.8

Multipliez $- 11$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} - 11 \cdot (- 1 x^{4} x^{5}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.9

Multipliez $x^{4}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.5.9.1

Déplacez $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} - 11 \cdot (- 1 (x^{5} x^{4})) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} - 11 \cdot (- 1 x^{5 + 4}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.9.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} - 11 \cdot (- 1 x^{9}) + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.5.10

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (x^{4} (- 5 {(1 - x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.3.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} {(1 - x)}^{4} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.2

Utilisez le théorème du binôme.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- x)) + 6 \cdot (1^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 + 4 \cdot (1^{3} (- x)) + 6 \cdot (1^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 + 4 \cdot (1 (- x)) + 6 \cdot (1^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 + 4 (- x) + 6 \cdot (1^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 \cdot (1^{2} {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 \cdot (1 {(- x)}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 {(- x)}^{2} + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 (1 x^{2}) + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 {(- x)}^{3} + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.11

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} + 4 (- x^{3}) + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.13

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + {(- x)}^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.14

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + {(- 1)}^{4} x^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.15

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + 1 x^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.3.16

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} (1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} \cdot 1 - 5 x^{4} (- 4 x) - 5 x^{4} (6 x^{2}) - 5 x^{4} (- 4 x^{3}) - 5 x^{4} x^{4} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.5.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 x^{4} (- 4 x) - 5 x^{4} (6 x^{2}) - 5 x^{4} (- 4 x^{3}) - 5 x^{4} x^{4} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{4} x) - 5 x^{4} (6 x^{2}) - 5 x^{4} (- 4 x^{3}) - 5 x^{4} x^{4} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{4} x) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 x^{4} (- 4 x^{3}) - 5 x^{4} x^{4} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{4} x) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{4} x^{4} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.5.5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.5.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{4} x) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 (x^{4} x^{4}) + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.5.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{4} x) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{4 + 4} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.5.5.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{4} x) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.6.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.6.6.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 (x \cdot x^{4})) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.6.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{1 + 4}) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} - 5 \cdot (- 4 x^{5}) - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.2

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 5 \cdot (6 x^{4} x^{2}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.6.6.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 5 \cdot (6 (x^{2} x^{4})) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 5 \cdot (6 x^{2 + 4}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 5 \cdot (6 x^{6}) - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.4

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} - 5 \cdot (- 4 x^{4} x^{3}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.6.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} - 5 \cdot (- 4 (x^{3} x^{4})) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} - 5 \cdot (- 4 x^{3 + 4}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.5.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} - 5 \cdot (- 4 x^{7}) - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.6.6

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 {(1 - x)}^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.7

Utilisez le théorème du binôme.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- x)) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.3.6.8.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 + 5 \cdot (1^{4} (- x)) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 + 5 \cdot (1 (- x)) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 + 5 (- x) + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 \cdot (1^{3} {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 \cdot (1 {(- x)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 {(- x)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 (1 x^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 \cdot (1 {(- x)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.11

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 {(- x)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.12

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} + 10 (- x^{3}) + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.14

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 \cdot (1 {(- x)}^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.15

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 {(- x)}^{4} + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.16

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.17

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 (1 x^{4}) + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.18

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 x^{4} + {(- x)}^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.19

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 x^{4} + {(- 1)}^{5} x^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.8.20

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 (1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 x^{4} - x^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.9

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + (4 \cdot 1 + 4 (- 5 x) + 4 (10 x^{2}) + 4 (- 10 x^{3}) + 4 (5 x^{4}) + 4 (- x^{5})) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.10.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + (4 + 4 (- 5 x) + 4 (10 x^{2}) + 4 (- 10 x^{3}) + 4 (5 x^{4}) + 4 (- x^{5})) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.10.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + (4 - 20 x + 4 (10 x^{2}) + 4 (- 10 x^{3}) + 4 (5 x^{4}) + 4 (- x^{5})) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.10.3

Multipliez $10$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + (4 - 20 x + 40 x^{2} + 4 (- 10 x^{3}) + 4 (5 x^{4}) + 4 (- x^{5})) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.10.4

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + (4 - 20 x + 40 x^{2} - 40 x^{3} + 4 (5 x^{4}) + 4 (- x^{5})) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.10.5

Multipliez $5$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + (4 - 20 x + 40 x^{2} - 40 x^{3} + 20 x^{4} + 4 (- x^{5})) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.10.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + (4 - 20 x + 40 x^{2} - 40 x^{3} + 20 x^{4} - 4 x^{5}) x^{3})$

Étape 3.7.3.6.11

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x \cdot x^{3} + 40 x^{2} x^{3} - 40 x^{3} x^{3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.12.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.12.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 (x^{3} x) + 40 x^{2} x^{3} - 40 x^{3} x^{3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.12.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.6.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{3 + 1} + 40 x^{2} x^{3} - 40 x^{3} x^{3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{2} x^{3} - 40 x^{3} x^{3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.12.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 (x^{3} x^{2}) - 40 x^{3} x^{3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{3 + 2} - 40 x^{3} x^{3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{3} x^{3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.3

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.12.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 (x^{3} x^{3}) + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{3 + 3} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.3.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{6} + 20 x^{4} x^{3} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.4

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.12.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{6} + 20 (x^{3} x^{4}) - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{6} + 20 x^{3 + 4} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.4.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{6} + 20 x^{7} - 4 x^{5} x^{3})$

Étape 3.7.3.6.12.5

Multipliez $x^{5}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.6.12.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 5 x^{4} + 20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 20 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{6} + 20 x^{7} - 4 (x^{3} x^{5}))$

Étape 3.7.3.6.12.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 3.7.3.6.12.5.3

Additionnez $3$ et $5$ .

Étape 3.7.3.7

Soustrayez $20 x^{4}$ de $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (20 x^{5} - 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 25 x^{4} + 40 x^{5} - 40 x^{6} + 20 x^{7} - 4 x^{8})$

Étape 3.7.3.8

Additionnez $20 x^{5}$ et $40 x^{5}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 30 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 25 x^{4} + 60 x^{5} - 40 x^{6} + 20 x^{7} - 4 x^{8})$

Étape 3.7.3.9

Soustrayez $40 x^{6}$ de $- 30 x^{6}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 70 x^{6} + 20 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 25 x^{4} + 60 x^{5} + 20 x^{7} - 4 x^{8})$

Étape 3.7.3.10

Additionnez $20 x^{7}$ et $20 x^{7}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 70 x^{6} + 40 x^{7} - 5 x^{8} + 4 x^{3} - 25 x^{4} + 60 x^{5} - 4 x^{8})$

Étape 3.7.3.11

Soustrayez $4 x^{8}$ de $- 5 x^{8}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + (- 11 x + 5) (- 70 x^{6} + 40 x^{7} - 9 x^{8} + 4 x^{3} - 25 x^{4} + 60 x^{5})$

Étape 3.7.3.12

Développez $(- 11 x + 5) (- 70 x^{6} + 40 x^{7} - 9 x^{8} + 4 x^{3} - 25 x^{4} + 60 x^{5})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} - 11 x (- 70 x^{6}) - 11 x (40 x^{7}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.13.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} - 11 \cdot (- 70 x \cdot x^{6}) - 11 x (40 x^{7}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.2

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.13.2.1

Déplacez $x^{6}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} - 11 \cdot (- 70 (x^{6} x)) - 11 x (40 x^{7}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.2.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.13.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} - 11 \cdot (- 70 x^{6 + 1}) - 11 x (40 x^{7}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.2.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} - 11 \cdot (- 70 x^{7}) - 11 x (40 x^{7}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.3

Multipliez $- 11$ par $- 70$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 11 x (40 x^{7}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 11 \cdot (40 x \cdot x^{7}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.5

Multipliez $x$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.13.5.1

Déplacez $x^{7}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 11 \cdot (40 (x^{7} x)) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.5.2

Multipliez $x^{7}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.13.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.13.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 11 \cdot (40 x^{7 + 1}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.5.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 11 \cdot (40 x^{8}) - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.6

Multipliez $- 11$ par $40$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} - 11 x (- 9 x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} - 11 \cdot (- 9 x \cdot x^{8}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.8

Multipliez $x$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.13.8.1

Déplacez $x^{8}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} - 11 \cdot (- 9 (x^{8} x)) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.8.2

Multipliez $x^{8}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.13.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.13.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} - 11 \cdot (- 9 x^{8 + 1}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.8.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} - 11 \cdot (- 9 x^{9}) - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.9

Multipliez $- 11$ par $- 9$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 11 x (4 x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 11 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.11

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.13.11.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 11 \cdot (4 (x^{3} x)) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.11.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.7.3.13.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.13.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 11 \cdot (4 x^{3 + 1}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.11.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 11 \cdot (4 x^{4}) - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.12

Multipliez $- 11$ par $4$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} - 11 x (- 25 x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} - 11 \cdot (- 25 x \cdot x^{4}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.14

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.13.14.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} - 11 \cdot (- 25 (x^{4} x)) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.14.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 3.7.3.13.14.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.13.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} - 11 \cdot (- 25 x^{4 + 1}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.14.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} - 11 \cdot (- 25 x^{5}) - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.15

Multipliez $- 11$ par $- 25$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 11 x (60 x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 11 \cdot (60 x \cdot x^{5}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.17

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.3.13.17.1

Déplacez $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 11 \cdot (60 (x^{5} x)) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.17.2

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 3.7.3.13.17.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.7.3.13.17.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 11 \cdot (60 x^{5 + 1}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.17.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 11 \cdot (60 x^{6}) + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.18

Multipliez $- 11$ par $60$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} + 5 (- 70 x^{6}) + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.19

Multipliez $- 70$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 5 (40 x^{7}) + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.20

Multipliez $40$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 200 x^{7} + 5 (- 9 x^{8}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.21

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 200 x^{7} - 45 x^{8} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.22

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 200 x^{7} - 45 x^{8} + 20 x^{3} + 5 (- 25 x^{4}) + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.23

Multipliez $- 25$ par $5$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 770 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 200 x^{7} - 45 x^{8} + 20 x^{3} - 125 x^{4} + 5 (60 x^{5})$

Étape 3.7.3.13.24

Multipliez $60$ par $5$ .

Étape 3.7.3.14

Additionnez $770 x^{7}$ et $200 x^{7}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 440 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} - 45 x^{8} + 20 x^{3} - 125 x^{4} + 300 x^{5}$

Étape 3.7.3.15

Soustrayez $45 x^{8}$ de $- 440 x^{8}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} - 44 x^{4} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 20 x^{3} - 125 x^{4} + 300 x^{5}$

Étape 3.7.3.16

Soustrayez $125 x^{4}$ de $- 44 x^{4}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} + 275 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 20 x^{3} - 169 x^{4} + 300 x^{5}$

Étape 3.7.3.17

Additionnez $275 x^{5}$ et $300 x^{5}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} + 575 x^{5} - 660 x^{6} - 350 x^{6} + 20 x^{3} - 169 x^{4}$

Étape 3.7.3.18

Soustrayez $350 x^{6}$ de $- 660 x^{6}$ .

$f'' (x) = - 11 x^{4} + 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} + 575 x^{5} - 1010 x^{6} + 20 x^{3} - 169 x^{4}$

Étape 3.7.4

Soustrayez $169 x^{4}$ de $- 11 x^{4}$ .

$f'' (x) = 55 x^{5} - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} + 575 x^{5} - 1010 x^{6} + 20 x^{3} - 180 x^{4}$

Étape 3.7.5

Additionnez $55 x^{5}$ et $575 x^{5}$ .

$f'' (x) = - 110 x^{6} + 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} + 630 x^{5} - 1010 x^{6} + 20 x^{3} - 180 x^{4}$

Étape 3.7.6

Soustrayez $1010 x^{6}$ de $- 110 x^{6}$ .

$f'' (x) = 110 x^{7} - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 970 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} + 630 x^{5} - 1120 x^{6} + 20 x^{3} - 180 x^{4}$

Étape 3.7.7

Additionnez $110 x^{7}$ et $970 x^{7}$ .

$f'' (x) = - 55 x^{8} + 11 x^{9} + 1080 x^{7} - 485 x^{8} + 99 x^{9} + 630 x^{5} - 1120 x^{6} + 20 x^{3} - 180 x^{4}$

Étape 3.7.8

Soustrayez $485 x^{8}$ de $- 55 x^{8}$ .

$f'' (x) = - 540 x^{8} + 11 x^{9} + 1080 x^{7} + 99 x^{9} + 630 x^{5} - 1120 x^{6} + 20 x^{3} - 180 x^{4}$

Étape 3.7.9

Additionnez $11 x^{9}$ et $99 x^{9}$ .

$f'' (x) = - 540 x^{8} + 110 x^{9} + 1080 x^{7} + 630 x^{5} - 1120 x^{6} + 20 x^{3} - 180 x^{4}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x)) = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = x^{5} \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{6}) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$f' (x) = x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (1 - x)) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f' (x) = x^{5} (6 u^{5} \frac{d}{d x} (1 - x)) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$f' (x) = x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (1 - x)) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (- x)) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{5} (6 {(1 - x)}^{5} (- \frac{d}{d x} x)) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5} \frac{d}{d x} x) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5} \cdot 1) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3.7

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + {(1 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 5.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + {(1 - x)}^{6} (5 x^{4})$

Étape 5.1.3.9

Déplacez $5$ à gauche de ${(1 - x)}^{6}$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + 5 \cdot ({(1 - x)}^{6} x^{4})$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5}) + 5 {(1 - x)}^{6} x^{4}$ .

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Étape 5.1.4.1.1

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $x^{5} (- 6 {(1 - x)}^{5})$ .

$f' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6)) + 5 {(1 - x)}^{6} x^{4}$

Étape 5.1.4.1.2

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $5 {(1 - x)}^{6} x^{4}$ .

$f' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6)) + x^{4} {(1 - x)}^{5} (5 (1 - x))$

Étape 5.1.4.1.3

Factorisez $x^{4} {(1 - x)}^{5}$ à partir de $x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6)) + x^{4} {(1 - x)}^{5} (5 (1 - x))$ .

$f' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (x \cdot (- 6) + 5 (1 - x))$

Étape 5.1.4.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$ .

$x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x)) = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x)) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

${(1 - x)}^{5} = 0$

$- 6 x + 5 (1 - x) = 0$

Étape 6.3

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 6.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez ${(1 - x)}^{5}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez ${(1 - x)}^{5}$ égal à $0$ .

${(1 - x)}^{5} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez ${(1 - x)}^{5} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Définissez le $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 6.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 6.4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 6.5

Définissez $- 6 x + 5 (1 - x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $- 6 x + 5 (1 - x)$ égal à $0$ .

$- 6 x + 5 (1 - x) = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $- 6 x + 5 (1 - x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez $- 6 x + 5 (1 - x)$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 x + 5 \cdot 1 + 5 (- x) = 0$

Étape 6.5.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 6 x + 5 + 5 (- x) = 0$

Étape 6.5.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 6 x + 5 - 5 x = 0$

Étape 6.5.2.1.2

Soustrayez $5 x$ de $- 6 x$ .

$- 11 x + 5 = 0$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 11 x = - 5$

Étape 6.5.2.3

Divisez chaque terme dans $- 11 x = - 5$ par $- 11$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 11 x = - 5$ par $- 11$ .

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{- 5}{- 11}$

Étape 6.5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 11$ .

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Étape 6.5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{- 5}{- 11}$

Étape 6.5.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 11}$

Étape 6.5.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{5}{11}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x)) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, \frac{5}{11}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 1, \frac{5}{11}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 540 {(0)}^{8} + 110 {(0)}^{9} + 1080 {(0)}^{7} + 630 {(0)}^{5} - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 540 \cdot 0 + 110 {(0)}^{9} + 1080 {(0)}^{7} + 630 {(0)}^{5} - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 540$ par $0$ .

$0 + 110 {(0)}^{9} + 1080 {(0)}^{7} + 630 {(0)}^{5} - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 110 \cdot 0 + 1080 {(0)}^{7} + 630 {(0)}^{5} - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.4

Multipliez $110$ par $0$ .

$0 + 0 + 1080 {(0)}^{7} + 630 {(0)}^{5} - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 1080 \cdot 0 + 630 {(0)}^{5} - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.6

Multipliez $1080$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 630 {(0)}^{5} - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 630 \cdot 0 - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.8

Multipliez $630$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 1120 {(0)}^{6} + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 1120 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.10

Multipliez $- 1120$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 20 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 20 \cdot 0 - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.12

Multipliez $20$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 180 {(0)}^{4}$

Étape 10.1.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 180 \cdot 0$

Étape 10.1.14

Multipliez $- 180$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 10.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Étape 10.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 10.2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 10.2.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{5}{11}) \cup (\frac{5}{11}, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{4} {(1 - (- 2))}^{5} (- 6 \cdot - 2 + 5 (1 - (- 2)))$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = 16 {(1 - (- 2))}^{5} (- 6 \cdot - 2 + 5 (1 - (- 2)))$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 16 {(1 + 2)}^{5} (- 6 \cdot - 2 + 5 (1 - (- 2)))$

Étape 11.2.2.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (- 2) = 16 \cdot (3^{5} (- 6 \cdot - 2 + 5 (1 - (- 2))))$

Étape 11.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f' (- 2) = 16 \cdot (243 (- 6 \cdot - 2 + 5 (1 - (- 2))))$

Étape 11.2.2.1.5

Multipliez $16$ par $243$ .

$f' (- 2) = 3888 (- 6 \cdot - 2 + 5 (1 - (- 2)))$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.2.1

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 3888 (12 + 5 (1 - (- 2)))$

Étape 11.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 3888 (12 + 5 (1 + 2))$

Étape 11.2.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (- 2) = 3888 (12 + 5 \cdot 3)$

Étape 11.2.2.2.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (- 2) = 3888 (12 + 15)$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.2.3.1

Additionnez $12$ et $15$ .

$f' (- 2) = 3888 \cdot 27$

Étape 11.2.2.3.2

Multipliez $3888$ par $27$ .

$f' (- 2) = 104976$

Étape 11.2.2.4

La réponse finale est $104976$ .

$104976$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $0.23$ , de l’intervalle $(0, \frac{5}{11})$ dans la dérivée première $x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.23$ dans l’expression.

$f' (0.23) = {(0.23)}^{4} {(1 - (0.23))}^{5} (- 6 \cdot 0.23 + 5 (1 - (0.23)))$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.2.1.1

Élevez $0.23$ à la puissance $4$ .

$f' (0.23) = 0.00279841 {(1 - (0.23))}^{5} (- 6 \cdot 0.23 + 5 (1 - (0.23)))$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.23$ .

$f' (0.23) = 0.00279841 {(1 - 0.23)}^{5} (- 6 \cdot 0.23 + 5 (1 - (0.23)))$

Étape 11.3.2.1.3

Soustrayez $0.23$ de $1$ .

$f' (0.23) = 0.00279841 \cdot ({0.77}^{5} (- 6 \cdot 0.23 + 5 (1 - (0.23))))$

Étape 11.3.2.1.4

Élevez $0.77$ à la puissance $5$ .

$f' (0.23) = 0.00279841 \cdot (0.27067841 (- 6 \cdot 0.23 + 5 (1 - (0.23))))$

Étape 11.3.2.1.5

Multipliez $0.00279841$ par $0.27067841$ .

$f' (0.23) = 0.00075746 (- 6 \cdot 0.23 + 5 (1 - (0.23)))$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.2.1

Multipliez $- 6$ par $0.23$ .

$f' (0.23) = 0.00075746 (- 1.38 + 5 (1 - (0.23)))$

Étape 11.3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0.23$ .

$f' (0.23) = 0.00075746 (- 1.38 + 5 (1 - 0.23))$

Étape 11.3.2.2.3

Soustrayez $0.23$ de $1$ .

$f' (0.23) = 0.00075746 (- 1.38 + 5 \cdot 0.77)$

Étape 11.3.2.2.4

Multipliez $5$ par $0.77$ .

$f' (0.23) = 0.00075746 (- 1.38 + 3.85)$

Étape 11.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.2.3.1

Additionnez $- 1.38$ et $3.85$ .

$f' (0.23) = 0.00075746 \cdot 2.47$

Étape 11.3.2.3.2

Multipliez $0.00075746$ par $2.47$ .

$f' (0.23) = 0.00187094$

Étape 11.3.2.4

La réponse finale est $0.00187094$ .

$0.00187094$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.73$ , de l’intervalle $(\frac{5}{11}, 1)$ dans la dérivée première $x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.73$ dans l’expression.

$f' (0.73) = {(0.73)}^{4} {(1 - (0.73))}^{5} (- 6 \cdot 0.73 + 5 (1 - (0.73)))$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.4.2.1.1

Élevez $0.73$ à la puissance $4$ .

$f' (0.73) = 0.28398241 {(1 - (0.73))}^{5} (- 6 \cdot 0.73 + 5 (1 - (0.73)))$

Étape 11.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.73$ .

$f' (0.73) = 0.28398241 {(1 - 0.73)}^{5} (- 6 \cdot 0.73 + 5 (1 - (0.73)))$

Étape 11.4.2.1.3

Soustrayez $0.73$ de $1$ .

$f' (0.73) = 0.28398241 \cdot ({0.27}^{5} (- 6 \cdot 0.73 + 5 (1 - (0.73))))$

Étape 11.4.2.1.4

Élevez $0.27$ à la puissance $5$ .

$f' (0.73) = 0.28398241 \cdot (0.00143489 (- 6 \cdot 0.73 + 5 (1 - (0.73))))$

Étape 11.4.2.1.5

Multipliez $0.28398241$ par $0.00143489$ .

$f' (0.73) = 0.00040748 (- 6 \cdot 0.73 + 5 (1 - (0.73)))$

Étape 11.4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.2.2.1

Multipliez $- 6$ par $0.73$ .

$f' (0.73) = 0.00040748 (- 4.38 + 5 (1 - (0.73)))$

Étape 11.4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0.73$ .

$f' (0.73) = 0.00040748 (- 4.38 + 5 (1 - 0.73))$

Étape 11.4.2.2.3

Soustrayez $0.73$ de $1$ .

$f' (0.73) = 0.00040748 (- 4.38 + 5 \cdot 0.27)$

Étape 11.4.2.2.4

Multipliez $5$ par $0.27$ .

$f' (0.73) = 0.00040748 (- 4.38 + 1.35)$

Étape 11.4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.4.2.3.1

Additionnez $- 4.38$ et $1.35$ .

$f' (0.73) = 0.00040748 \cdot - 3.03$

Étape 11.4.2.3.2

Multipliez $0.00040748$ par $- 3.03$ .

$f' (0.73) = - 0.00123467$

Étape 11.4.2.4

La réponse finale est $- 0.00123467$ .

$- 0.00123467$

Étape 11.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $x^{4} {(1 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (1 - x))$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = {(4)}^{4} {(1 - (4))}^{5} (- 6 \cdot 4 + 5 (1 - (4)))$

Étape 11.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.5.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 256 {(1 - (4))}^{5} (- 6 \cdot 4 + 5 (1 - (4)))$

Étape 11.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = 256 {(1 - 4)}^{5} (- 6 \cdot 4 + 5 (1 - (4)))$

Étape 11.5.2.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (4) = 256 {(- 3)}^{5} (- 6 \cdot 4 + 5 (1 - (4)))$

Étape 11.5.2.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$f' (4) = 256 \cdot (- 243 (- 6 \cdot 4 + 5 (1 - (4))))$

Étape 11.5.2.1.5

Multipliez $256$ par $- 243$ .

$f' (4) = - 62208 (- 6 \cdot 4 + 5 (1 - (4)))$

Étape 11.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.5.2.2.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f' (4) = - 62208 (- 24 + 5 (1 - (4)))$

Étape 11.5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = - 62208 (- 24 + 5 (1 - 4))$

Étape 11.5.2.2.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (4) = - 62208 (- 24 + 5 \cdot - 3)$

Étape 11.5.2.2.4

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f' (4) = - 62208 (- 24 - 15)$

Étape 11.5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.5.2.3.1

Soustrayez $15$ de $- 24$ .

$f' (4) = - 62208 \cdot - 39$

Étape 11.5.2.3.2

Multipliez $- 62208$ par $- 39$ .

$f' (4) = 2426112$

Étape 11.5.2.4

La réponse finale est $2426112$ .

$2426112$

Étape 11.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{5}{11}$ , $x = \frac{5}{11}$ est un maximum local.

$x = \frac{5}{11}$ est un maximum local

Étape 11.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{5} {(1 - x)}^{6}$ .

$x = \frac{5}{11}$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

$x = \frac{5}{11}$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

Étape 12