Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 (x - e^{x})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x - e^{x})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (1 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 (1 - \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (1 - e^{x})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 (- e^{x})$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 (- e^{x})$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 - 3 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} e^{x}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 3 e^{x}$

Étape 2.3

Soustrayez $3 e^{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 - 3 e^{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x - e^{x})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$

Étape 4.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Étape 4.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (1 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Étape 4.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 (1 - \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (1 - e^{x})$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 (- e^{x})$

Étape 4.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.3.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 (- e^{x})$

Étape 4.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 3 - 3 e^{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 - 3 e^{x}$ .

$3 - 3 e^{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 - 3 e^{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 - 3 e^{x} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 e^{x} = - 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 e^{x} = - 3$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 e^{x} = - 3$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 e^{x}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 e^{x}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{- 3}{- 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 3$ par $- 3$ .

$e^{x} = 1$

Étape 5.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Étape 5.5

Développez le côté gauche.

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Étape 5.5.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Étape 5.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 5.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (1)$

Étape 5.6

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 3 e^{0}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 9.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 ((0) - e^{0})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 3 (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = 3 (0 - 1)$

Étape 11.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = 3 \cdot - 1$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (0) = - 3$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 (x - e^{x})$ .

$(0, - 3)$ est un maximum local

Étape 13