Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$\frac{3}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2 {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.9

Placez ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{3}{7}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 2.11

Multipliez.

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Étape 2.11.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 2.11.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{6}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 2.12

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (2)}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 2.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.16

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Étape 2.17

Associez les fractions.

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Étape 2.17.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Étape 2.17.2

Associez $2$ et $\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 2.17.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 2.17.4

Associez $\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{4}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.9.3

Placez ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.9.4

Associez $\frac{1}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.13.4

Associez $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.19

Pour écrire ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.20

Associez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.22

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.22.1

Déplacez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.22.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.22.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 9) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.23

Simplifiez ${(x^{2} - 9)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 9) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.24

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.25

Réécrivez $\frac{\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.26

Multipliez $\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.27

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.27.1

Déplacez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 3.27.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 3.27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 3.27.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.28

Multipliez $\frac{4}{7}$ par $\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2})}{7 (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 3.29

Multipliez $3$ par $7$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30

Simplifiez

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Étape 3.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 9 - 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 9) + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.30.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.30.3.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 9) + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.3.1.2

Multipliez $4 (3 \cdot - 9)$ .

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Étape 3.30.3.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 27 + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 108 + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 108 - 8 x^{2}}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.3.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 108}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 108$ .

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Étape 3.30.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 108}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 108$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 27}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.30.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 27$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 27)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.8

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.9

Placez ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 5.1.10

Multipliez $\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{3}{7}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Étape 5.1.11

Multipliez.

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Étape 5.1.11.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Étape 5.1.11.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Étape 5.1.12

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Étape 5.1.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Étape 5.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Étape 5.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Étape 5.1.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Étape 5.1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Étape 5.1.16

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Étape 5.1.17

Associez les fractions.

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Étape 5.1.17.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Étape 5.1.17.2

Associez $2$ et $\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Étape 5.1.17.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Étape 5.1.17.4

Associez $\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{{(x^{2} - 9)}^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{x^{2} - 9}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{x^{2} - 9}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$7 \sqrt[3]{x^{2} - 9} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(7 \sqrt[3]{x^{2} - 9})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} - 9}$ comme ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$7^{3} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$343 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$343 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$343 {(x^{2} - 9)}^{1} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.4

Simplifiez

$343 (x^{2} - 9) = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$343 x^{2} + 343 \cdot - 9 = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.6

Multipliez $343$ par $- 9$ .

$343 x^{2} - 3087 = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$343 x^{2} - 3087 = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.1

Ajoutez $3087$ aux deux côtés de l’équation.

$343 x^{2} = 3087$

Étape 7.3.3.2

Divisez chaque terme dans $343 x^{2} = 3087$ par $343$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $343 x^{2} = 3087$ par $343$ .

$\frac{343 x^{2}}{343} = \frac{3087}{343}$

Étape 7.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $343$ .

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Étape 7.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{343 x^{2}}{343} = \frac{3087}{343}$

Étape 7.3.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3087}{343}$

Étape 7.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.2.3.1

Divisez $3087$ par $343$ .

$x^{2} = 9$

Étape 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 7.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 7.3.3.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 7.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 7.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 7.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 7.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 7.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 27)}{21 {({(0)}^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 (0 - 27)}{21 {(0^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.1.2

Soustrayez $27$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(0^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(0 - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 10.3.1

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$\frac{- 108}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 108$ .

$\frac{3 (- 36)}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.1

Factorisez $3$ à partir de $21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 36)}{3 (7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 (7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 10.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 36}{7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{36}{7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {({(0)}^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {(0 - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12.2.1.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {(- 9)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12.2.2

Associez $\frac{3}{7}$ et ${(- 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $\frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ .

$y = \frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 {({(- 3)}^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 {(9 - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.1.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 14.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{4}}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0}$

Étape 14.3.2

Multipliez $21$ par $0$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Étape 14.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Étape 14.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 6$ , de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = \frac{4 (- 6)}{7 {({(- 6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 {({(- 6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 {(36 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.2.2.2.2

Soustrayez $9$ de $36$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.2.2.2.3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.2.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 15.2.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 15.2.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3}$

Étape 15.2.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3}$

Étape 15.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.3.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{21}$

Étape 15.2.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $21$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$f' (- 6) = \frac{3 (- 8)}{21}$

Étape 15.2.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$f' (- 6) = \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 7}$

Étape 15.2.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 6) = \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 7}$

Étape 15.2.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 6) = \frac{- 8}{7}$

Étape 15.2.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 6) = - \frac{8}{7}$

Étape 15.2.2.4

La réponse finale est $- \frac{8}{7}$ .

$- \frac{8}{7}$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{7 {({(- 2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {({(- 2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {(4 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.3.2.2.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.3.2.4

La réponse finale est $- \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{7 {({(2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.2.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(2^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(4 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.4.2.2.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.4.2.3

La réponse finale est $\frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.5

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = \frac{4 (6)}{7 {({(6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 {(6^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 {(36 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.5.2.2.2

Soustrayez $9$ de $36$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.5.2.2.3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15.5.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 15.5.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 15.5.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3}$

Étape 15.5.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3}$

Étape 15.5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.3.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$f' (6) = \frac{24}{21}$

Étape 15.5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $24$ et $21$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$f' (6) = \frac{3 (8)}{21}$

Étape 15.5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$f' (6) = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 7}$

Étape 15.5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (6) = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 7}$

Étape 15.5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (6) = \frac{8}{7}$

Étape 15.5.2.4

La réponse finale est $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Étape 15.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 3$ , $x = - 3$ est un minimum local.

$x = - 3$ est un minimum local

Étape 15.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 15.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 3$ , $x = 3$ est un minimum local.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 15.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 3$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 3$ est un minimum local

$x = - 3$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 3$ est un minimum local

Étape 16