Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$ .

$x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{3}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3

Remplacez $x^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

${(u)}^{3} - 9 u = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$u^{3} - 9 u = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{3} - 9 u$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - 9 u = 0$

Étape 1.2.4.2.1.2

Factorisez $u$ à partir de $- 9 u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 9 = 0$

Étape 1.2.4.2.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u^{2} + u \cdot - 9$ .

$u (u^{2} - 9) = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u (u^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u$ et $b = 3$ .

$u ((u + 3) (u - 3)) = 0$

Étape 1.2.4.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u (u + 3) (u - 3) = 0$

Étape 1.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

Étape 1.2.4.4

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 1.2.4.5

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.5.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

Étape 1.2.4.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

Étape 1.2.4.6

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.6.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 1.2.4.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 1.2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u + 3) (u - 3) = 0$ vraie.

$u = 0, - 3, 3$

Étape 1.2.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0, - 3, 3$

Étape 1.2.6

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{3}$

Étape 1.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{3}$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.7

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} = - 3$ pour $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.7.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$x = - 27$

Étape 1.2.8

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} = 3$ pour $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Étape 1.2.8.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.8.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.8.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 1.2.8.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.8.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 1.2.8.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 3^{3}$

Étape 1.2.8.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 3^{3}$

Étape 1.2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = 27$

Étape 1.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, - 27, 27$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $(0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = 0 - 9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{1}$

Étape 2.2.3.1.4

Évaluez l’exposant.

$y = 0 - 9 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.5

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4