Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Étape 1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (x) = - x$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x) = - x$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x) = - x$ par $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $x^{2} \ln (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{1}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.2.2.2

Simplifiez

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.2.3

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.1.2.4

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \ln (e))$

Étape 4.1.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2})$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2}$

Étape 4.1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $e$ .

$- \frac{1}{2 e}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} \ln (0)$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$

Étape 5