Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{9 - 4 x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x + x^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 - 4 x^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x}{lim_{x \to \infty} 9 - 4 x^{2}}$

Étape 1.2.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 - 4 x^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Remettez dans l’ordre $9$ et $- 4 x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 4 x^{2} + 9}$

Étape 1.3.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{9 - 4 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 4 x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 4 x^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 4 x^{2}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 4 x^{2}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 x}{\frac{d}{d x} [9 - 4 x^{2}]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [9 - 4 x^{2}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]}$

Étape 3.7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 (2 x)}$

Étape 3.8.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 8 x}$

Étape 3.9

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{- 8 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{- 8}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 8} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x}$

Étape 5

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{1}{- 8} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 8} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Étape 6.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{- 8} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 8} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 8} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 8} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 8} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 8} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 8} \cdot \frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 8} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Étape 8.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Étape 8.2.2

Divisez $2 + 0$ par $1$ .

$- \frac{1}{8} (2 + 0)$

Étape 8.2.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot 2$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{8} \cdot 2$

Étape 8.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2$

Étape 8.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2$

Étape 8.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4}$

Étape 8.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$