Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{\ln (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.3

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{1}{x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} 4 x^{3} x$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{3})$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 3}$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x^{4}$

Étape 6

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\infty$