Calcul infinitésimal Exemples

$f'' (x) = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Étape 1

La fonction $f' (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 24 x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Étape 3

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$24 \int x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Étape 5

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 18$ en dehors de l’intégrale.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Étape 7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

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$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.2

Associez $8$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Étape 9.2.3.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Étape 10

La fonction $f'$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f' (x) = 6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Étape 11

La fonction $f (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Étape 13

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Étape 15

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Étape 17

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Étape 18

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Étape 19

Appliquez la règle de la constante.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Étape 20

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Étape 20.1

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Étape 20.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Étape 20.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Étape 20.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Étape 20.2

Simplifiez

$\frac{6 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Étape 22

La fonction $f$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f (x) = \frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$