Calcul infinitésimal Exemples

$k^{2} (2 k + 3) + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 k^{2} k + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 1.3

Déplacez $3$ à gauche de $k^{2}$ .

$2 k^{2} k + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 1.4

Multipliez $k^{2}$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $k$ .

$2 (k \cdot k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 1.4.2

Multipliez $k$ par $k^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$2 (k^{1} k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 k^{1 + 2} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 k^{3} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Étape 2

Simplifiez ${(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(k + 1)}^{2}$ comme $(k + 1) (k + 1)$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k + 1) (k + 1) (2 k + 5)$

Étape 2.2

Développez $(k + 1) (k + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k (k + 1) + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $k$ par $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1) (2 k + 5)$

Étape 2.3.2

Additionnez $k$ et $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$

Étape 2.4

Développez $(k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $k^{2}$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.2.1

Déplacez $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $k$ par $k^{2}$ .

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Étape 2.5.1.2.2.1

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 \cdot k^{2} + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.5.1

Déplacez $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.8

Multipliez $2 k$ par $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 1 \cdot 5$

Étape 2.5.1.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $5 k^{2}$ et $4 k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $10 k$ et $2 k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 12 k + 5$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $k$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $2 k^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} = 9 k^{2} + 12 k + 5$

Étape 3.2

Soustrayez $9 k^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} = 12 k + 5$

Étape 3.3

Soustrayez $12 k$ des deux côtés de l’équation.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.4

Associez les termes opposés dans $2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 k^{3}$ de $2 k^{3}$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 + 0 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.4.2

Additionnez $3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1$ et $0$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1

Réécrivez ${(k + 1)}^{2}$ comme $(k + 1) (k + 1)$ .

$3 k^{2} + 6 ((k + 1) (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.2

Développez $(k + 1) (k + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 k^{2} + 6 (k (k + 1) + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.3.1.2

Multipliez $k$ par $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.3.1.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.3.2

Additionnez $k$ et $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + 2 k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 (2 k) + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.5

Simplifiez

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Étape 3.5.5.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Étape 3.6

Associez les termes opposés dans $3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k$ .

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Étape 3.6.1

Soustrayez $12 k$ de $12 k$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} + 0 = 5$

Étape 3.6.2

Additionnez $3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ et $0$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Étape 3.7

Additionnez $3 k^{2}$ et $6 k^{2}$ .

$9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Étape 3.8

Associez les termes opposés dans $9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ .

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Étape 3.8.1

Soustrayez $9 k^{2}$ de $9 k^{2}$ .

$0 + 6 - 1 = 5$

Étape 3.8.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$6 - 1 = 5$

Étape 3.9

Soustrayez $1$ de $6$ .

$5 = 5$

Étape 4

Comme $5 = 5$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $k$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$