Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{5}{8}$ et $x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 8.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 8.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 8.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 10.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 11

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 \int x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 13

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 14

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 \int \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Étape 15

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \int \ln (3) d x$

Étape 16

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \ln (3) x + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez

$\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Étape 17.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$