Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[5]{3 x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[5]{3 x - 1}$ comme une équation.

$y = \sqrt[5]{3 x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[5]{3 y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[5]{3 y - 1} = x$ .

$\sqrt[5]{3 y - 1} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{3 y - 1}}^{5} = x^{5}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{3 y - 1}$ comme ${(3 y - 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 y - 1)}^{1} = x^{5}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$3 y - 1 = x^{5}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = x^{5} + 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{5} + 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{5} + 1$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[5]{3 x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 x - 1})}^{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 x - 1})}^{5} + 1}{3}$

Étape 5.2.4

Réécrivez ${\sqrt[5]{3 x - 1}}^{5}$ comme $3 x - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{3 x - 1}$ comme ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 1}{3}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 1}{3}$

Étape 5.2.4.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1}{3}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1}{3}$

Étape 5.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{(3 x - 1) + 1}{3}$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{3 x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) - 1}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3}) + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3}) + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 1 - 1}$

Étape 5.3.6

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.3.6.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $x^{5}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Étape 5.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[5]{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3} + \frac{1}{3}$