Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{- 2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$f' (x) = x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$f' (x) = x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- 2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $- 2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $- 2 x + 1$ égal à $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- 2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x e^{- 2 x}$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (- \frac{1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{- 2 (- \frac{1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{- 2 (- \frac{1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2})) \cdot e^{- 2 (- \frac{1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot - 1 \cdot e^{- 2 (- \frac{1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 1 \cdot e^{- 2 (- \frac{1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$ par $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (- \frac{1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{- 1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{- 1}{2})} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2}))} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = e^{- 1 \cdot - 1} + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.6

Simplifiez

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e^{- 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e^{- 2 (\frac{- 1}{2})}$

Étape 5.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e^{2 (- 1) (\frac{- 1}{2})}$

Étape 5.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e^{2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2}))}$

Étape 5.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e^{- 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e$

Étape 5.2.1.9

Simplifiez

$f' (- \frac{1}{2}) = e + e$

Étape 5.2.2

Additionnez $e$ et $e$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 e$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $2 e$ .

$2 e$

Étape 5.3

Sur $x = - \frac{1}{2}$ la dérivée est $2 e$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{1}{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = - 2 (\frac{3}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{3}{2})} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (- 1) (\frac{3}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{3}{2})} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 (\frac{3}{2})) \cdot e^{- 2 (\frac{3}{2})} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = - 1 \cdot 3 \cdot e^{- 2 (\frac{3}{2})} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot e^{- 2 (\frac{3}{2})} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot e^{2 (- 1) (\frac{3}{2})} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot e^{2 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot e^{- 1 \cdot 3} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot e^{- 3} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{3}} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.6

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3}{e^{3}} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{e^{3}} + e^{- 2 (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{e^{3}} + e^{2 (- 1) (\frac{3}{2})}$

Étape 6.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{e^{3}} + e^{2 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}$

Étape 6.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{e^{3}} + e^{- 1 \cdot 3}$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{e^{3}} + e^{- 3}$

Étape 6.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{e^{3}} + \frac{1}{e^{3}}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3 + 1}{e^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 2}{e^{3}}$

Étape 6.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{2}{e^{3}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{2}{e^{3}}$ .

$- \frac{2}{e^{3}}$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{3}{2}$ la dérivée est $- \frac{2}{e^{3}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{1}{2}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, \frac{1}{2})$

Diminue sur : $(\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 8