Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x} \sec (x)}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{x} \sec (x)}$ .

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Étape 1.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{x}} (1 \cos (x))$

Étape 1.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{x}} \cos (x)$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cos (x)$

Étape 1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} \cos (x)$

Étape 1.6.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} \cos (x)$

Étape 1.6.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} \cos (x)$

Étape 1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} \cos (x)$

Étape 1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} \cos (x)$

Étape 1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (x)$

Étape 1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (x)$

Étape 1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} \cos (x)$

Étape 1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} \cos (x)$

Étape 1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}} \cos (x)$

Étape 1.6.6.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt{x}}{x} \cos (x)$

Étape 1.7

Associez $\frac{\sqrt{x}}{x}$ et $\cos (x)$ .

$y = \frac{\sqrt{x} \cos (x)}{x}$

Étape 2

Pour tout $y = \sec (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = \frac{\sqrt{x} \cos (x)}{x}$ . Définissez l’intérieur de la fonction sécante, $b x + c$ , pour $y = a \sec (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se situe pour $y = \frac{\sqrt{x} \cos (x)}{x}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 3

Définissez l’intérieur de la fonction sécante $x$ égal à $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4

La période de base pour $y = \frac{\sqrt{x} \cos (x)}{x}$ se produit sur $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , où $- \frac{π}{2}$ et $\frac{3 π}{2}$ sont des asymptotes verticales.

$(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$

Étape 5

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

Les asymptotes verticales pour $y = \frac{\sqrt{x} \cos (x)}{x}$ se produisent sur $- \frac{π}{2}$ , $\frac{3 π}{2}$ et chaque $π n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$π n$

Étape 7

Il n’y a que des asymptotes verticales pour les fonctions sécante et cosécante.

Asymptotes verticales : $x = \frac{3 π}{2} + π n$ pour tout entier $n$

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 8