Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 e^{- x}$ ; $[0, 2]$

Étape 1

Écrivez $y = 5 e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = 5 e^{- x}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 5 e^{- x} d x)$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Étape 7

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 ((e^{- 2}) - e^{0}))$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1 \cdot 1))$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (\frac{1}{e^{2}} - 1))$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \frac{1}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

Étape 12.3

Associez $- 5$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

Étape 12.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} + 5)$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Étape 13.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 5$

Étape 14.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{e^{2}}$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 5$

Étape 14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{5}{2}$

Étape 15