Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2} + 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 1.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 1.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 1.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 1.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 1.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Étape 5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Étape 7.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Étape 7.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

Étape 7.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

Étape 7.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

Étape 7.2.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

Étape 7.3.2.2

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $- - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

Étape 7.3.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Étape 7.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

Étape 7.3.4

Additionnez $π$ et $π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

Étape 7.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Étape 7.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Étape 7.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Étape 7.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 7.3.7

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.7.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 7.3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

Étape 8

Additionnez $2$ et $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Étape 9.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$A (x) = \frac{π}{16}$

Étape 10