Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${t | t \in ℝ}$

Étape 2

$f (t)$ est continu sur $[0, 7]$ .

$f (t)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

Étape 5

Laissez $u = - t^{2}$ . Alors $d u = - 2 t d t$ , donc $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Étape 5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 t)$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 t$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = - t^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = - t^{2}$ .

$u_{upper} = - 7^{2}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

Étape 5.5.2

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$u_{upper} = - 49$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 49$ et sur $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Étape 11.3

Multipliez $\frac{1}{e^{49}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Étape 11.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 11.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Étape 11.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Étape 11.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{49}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Étape 12.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 14

Multipliez $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ .

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{1}{2 e^{49}}$ .

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 14.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 15

Multipliez $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

Étape 15.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

Étape 16