Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \sin (x)$ , $[0, π]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, π]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} - \sin (x) d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Étape 6

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- \cos (π) + \cos (0)))$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- \cos (π) + 1))$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (\cos (0) + 1))$

Étape 7.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (1 + 1))$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (1 + 1))$

Étape 7.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 1 \cdot 2)$

Étape 7.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 2)$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot - 2$

Étape 8.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Étape 10