Calcul infinitésimal Exemples

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 1

Écrivez $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.1.1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.1.1.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x)$

Étape 2.1.1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x$

Étape 2.1.1.3.4.2

Associez $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Étape 2.1.1.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Étape 2.1.1.3.4.3.2

Divisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ par $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Étape 2.1.1.3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$f' (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3

Différenciez.

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.3.2.1

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3.4

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.3.4.3

Associez $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.7.2.2.4

Divisez $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

Étape 2.1.2.9

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Étape 2.2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.5

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.2.6

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 2.2.6.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 2.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.6.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = - {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.4

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.7

Associez $- 16$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.9

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

Étape 5.2.1.10

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

Étape 5.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

Étape 5.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

Étape 5.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{15}{e^{8}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.4

Divisez $0$ par $2$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{0}{2}}$

Étape 6.2.1.9

Divisez $0$ par $2$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- 0}$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + e^{0}$

Étape 6.2.1.11

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + 1$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 1, 1)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.4

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.7

Associez $- 16$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

Étape 7.2.1.10

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

Étape 7.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $1$ .

$f'' (4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

Étape 7.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (4) = - \frac{15}{e^{8}}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9