Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Résolvez $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Simplifiez ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.2.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Étape 1.2.3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Étape 1.2.3.2

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{1}{x^{3}}$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{1}{x^{3}}$ par $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Étape 1.2.3.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Étape 1.2.3.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{4} = 1$

Étape 1.2.3.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Étape 1.2.3.3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.3.3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{1}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = \frac{1}{1}$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{1}$

Étape 1.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$y = 1$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.4.2

Divisez $1$ par $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Étape 3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Étape 3.6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Étape 3.8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Étape 3.8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Étape 3.8.2.2

Évaluez $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 3.8.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 3.8.2.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 3.8.2.3.3

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 3.8.2.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Étape 3.8.2.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Étape 3.8.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 3.8.2.3.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Étape 3.8.2.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Étape 3.8.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Étape 3.8.2.3.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Étape 3.8.2.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.10.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Étape 3.8.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Étape 3.8.2.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Étape 3.8.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Étape 3.8.2.3.12

Additionnez $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ et $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Étape 3.8.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Étape 3.8.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.4.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Étape 3.8.4.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Étape 3.8.4.3

Divisez $1$ par $1$ .

$\ln (1)$

Étape 3.9

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0$

Étape 4