Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x}$ , $y = - 3 x^{2} - 5 x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$e^{x} = - 3 x^{2} - 5 x$

Étape 1.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.62636337, - 0.18686209 + y = - 3 x^{2} - 5 x$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = - 1.62636337$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $- 1.62636337$ .

$y = - 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $- 1.62636337$ dans $y = - 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $- 3 {(- 1.62636337)}^{2} - 5 \cdot - 1.62636337$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Élevez $- 1.62636337$ à la puissance $2$ .

$y = - 3 \cdot 2.64505782 - 5 \cdot - 1.62636337$

Étape 1.3.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2.64505782$ .

$y = - 7.93517347 - 5 \cdot - 1.62636337$

Étape 1.3.2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 1.62636337$ .

$y = - 7.93517347 + 8.13181687$

Étape 1.3.2.2.2

Additionnez $- 7.93517347$ et $8.13181687$ .

$y = 0.19664339$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - 0.18686209$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- 0.18686209$ .

$y = - 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $- 0.18686209$ dans $y = - 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez $- 3 {(- 0.18686209)}^{2} - 5 \cdot - 0.18686209$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 0.18686209$ à la puissance $2$ .

$y = - 3 \cdot 0.03491744 - 5 \cdot - 0.18686209$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0.03491744$ .

$y = - 0.10475232 - 5 \cdot - 0.18686209$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 0.18686209$ .

$y = - 0.10475232 + 0.93431045$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 0.10475232$ et $0.93431045$ .

$y = 0.82955813$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 1.62636337, 0.19664339)$

$(- 0.18686209, 0.82955813)$

$(- 1.62636337, 0.19664339)$

$(- 0.18686209, 0.82955813)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} - 5 x d x - \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} e^{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1.62636337$ et $- 0.18686209$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} - 5 x - (e^{x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $e^{x}$ .

$\int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} - 5 x - e^{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 3 x^{2} d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} x^{2} d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - 5 x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

Étape 3.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} x d x + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) + \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} - e^{x} d x$

Étape 3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - \int_{- 1.62636337}^{- 0.18686209} e^{x} d x$

Étape 3.11

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - (e^{x}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209})$

Étape 3.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.12.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $- 0.18686209$ et sur $- 1.62636337$ .

$- 3 ((\frac{{(- 0.18686209)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209}) - (e^{x}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209})$

Étape 3.12.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $- 0.18686209$ et sur $- 1.62636337$ .

$- 3 (\frac{{(- 0.18686209)}^{3}}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - (e^{x}]_{- 1.62636337}^{- 0.18686209})$

Étape 3.12.3

Évaluez $e^{x}$ sur $- 0.18686209$ et sur $- 1.62636337$ .

$- 3 (\frac{{(- 0.18686209)}^{3}}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4

Simplifiez

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Étape 3.12.4.1

Élevez $- 0.18686209$ à la puissance $3$ .

$- 3 (\frac{- 0.00652474}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} - \frac{{(- 1.62636337)}^{3}}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.3

Élevez $- 1.62636337$ à la puissance $3$ .

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} - \frac{- 4.30182517}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} - - \frac{4.30182517}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} + 1 (\frac{4.30182517}{3})) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.6

Multipliez $\frac{4.30182517}{3}$ par $1$ .

$- 3 (- \frac{0.00652474}{3} + \frac{4.30182517}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 \frac{- 0.00652474 + 4.30182517}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.8

Additionnez $- 0.00652474$ et $4.30182517$ .

$- 3 (\frac{4.29530042}{3}) - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.9

Associez $- 3$ et $\frac{4.29530042}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4.29530042}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.10

Multipliez $- 3$ par $4.29530042$ .

$\frac{- 12.88590128}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{{(- 0.18686209)}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.12

Élevez $- 0.18686209$ à la puissance $2$ .

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{0.03491744}{2} - \frac{{(- 1.62636337)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.13

Élevez $- 1.62636337$ à la puissance $2$ .

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{0.03491744}{2} - \frac{2.64505782}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 \frac{0.03491744 - 2.64505782}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.15

Soustrayez $2.64505782$ de $0.03491744$ .

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (\frac{- 2.61014038}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12.88590128}{3} - 5 (- \frac{2.61014038}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.17

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- \frac{12.88590128}{3} + 5 (\frac{2.61014038}{2}) - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.18

Associez $5$ et $\frac{2.61014038}{2}$ .

$- \frac{12.88590128}{3} + \frac{5 \cdot 2.61014038}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.19

Multipliez $5$ par $2.61014038$ .

$- \frac{12.88590128}{3} + \frac{13.05070192}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.20

Pour écrire $- \frac{12.88590128}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{12.88590128}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{13.05070192}{2} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.21

Pour écrire $\frac{13.05070192}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{12.88590128}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{13.05070192}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.12.4.22.1

Multipliez $\frac{12.88590128}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{13.05070192}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.22.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{6} + \frac{13.05070192}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.22.3

Multipliez $\frac{13.05070192}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{6} + \frac{13.05070192 \cdot 3}{2 \cdot 3} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.22.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{12.88590128 \cdot 2}{6} + \frac{13.05070192 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 12.88590128 \cdot 2 + 13.05070192 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.24

Multipliez $- 12.88590128$ par $2$ .

$\frac{- 25.77180256 + 13.05070192 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.25

Multipliez $13.05070192$ par $3$ .

$\frac{- 25.77180256 + 39.15210578}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.26

Additionnez $- 25.77180256$ et $39.15210578$ .

$\frac{13.38030322}{6} - ((e^{- 0.18686209}) - e^{- 1.62636337})$

Étape 3.12.4.27

Pour écrire $- (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13.38030322}{6} - (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337}) \cdot \frac{6}{6}$

Étape 3.12.4.28

Associez $- (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337})$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13.38030322}{6} + \frac{- (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337}) \cdot 6}{6}$

Étape 3.12.4.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13.38030322 - (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337}) \cdot 6}{6}$

Étape 3.12.4.30

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{13.38030322 - 6 (e^{- 0.18686209} - e^{- 1.62636337})}{6}$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{13.38030322 - 6 (\frac{1}{e^{0.18686209}} - e^{- 1.62636337})}{6}$

Étape 3.13.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{13.38030322 - 6 (\frac{1}{e^{0.18686209}} - \frac{1}{e^{1.62636337}})}{6}$

Étape 3.13.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13.38030322 - 6 \frac{1}{e^{0.18686209}} - 6 (- \frac{1}{e^{1.62636337}})}{6}$

Étape 3.13.1.3

Associez $- 6$ et $\frac{1}{e^{0.18686209}}$ .

$\frac{13.38030322 + \frac{- 6}{e^{0.18686209}} - 6 (- \frac{1}{e^{1.62636337}})}{6}$

Étape 3.13.1.4

Multipliez $- 6 (- \frac{1}{e^{1.62636337}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{13.38030322 + \frac{- 6}{e^{0.18686209}} + 6 \frac{1}{e^{1.62636337}}}{6}$

Étape 3.13.1.4.2

Associez $6$ et $\frac{1}{e^{1.62636337}}$ .

$\frac{13.38030322 + \frac{- 6}{e^{0.18686209}} + \frac{6}{e^{1.62636337}}}{6}$

Étape 3.13.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{13.38030322 - \frac{6}{e^{0.18686209}} + \frac{6}{e^{1.62636337}}}{6}$

Étape 3.13.1.6

Soustrayez $\frac{6}{e^{0.18686209}}$ de $13.38030322$ .

$\frac{8.40295442 + \frac{6}{e^{1.62636337}}}{6}$

Étape 3.13.1.7

Additionnez $8.40295442$ et $\frac{6}{e^{1.62636337}}$ .

$\frac{9.58281479}{6}$

Étape 3.13.2

Divisez $9.58281479$ par $6$ .

$1.59713579$

Étape 4