Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\cos (x) + \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.4

Séparez les fractions.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 2.5.2.6

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 2.5.2.7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Étape 2.5.2.8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 2.5.2.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 2.5.2.10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.10.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.11

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 2.5.2.12

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.5.2.12.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 2.5.2.12.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2.13

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.5.2.13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.5.2.13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.5.2.13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.5.2.14

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.5.2.14.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 2.5.2.14.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.14.3

Associez les fractions.

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Étape 2.5.2.14.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.14.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.5.2.14.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.14.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 2.5.2.14.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2.14.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2.15

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{x} \sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{4}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.3

Associez $e^{\frac{3 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{4}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4.2.2.3

Associez $e^{\frac{7 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{11 π}{4}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{11 π}{4}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.3.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.2.4

Associez $e^{\frac{11 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \frac{15 π}{4}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{15 π}{4}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

Étape 4.4.2

Simplifiez

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.4.2.2

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 4.4.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4.4.2.4

Associez $e^{\frac{15 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = \frac{19 π}{4}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{19 π}{4}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

Étape 4.5.2

Simplifiez

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.5.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.5.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.5.2.4

Associez $e^{\frac{19 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.6

Indiquez tous les points.

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

Étape 5