Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 4$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.4.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.3.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 1.1.3.6.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 1$ plus $9$

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f' (x) = \frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f' (x) = \frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1 \cdot 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.10

Réécrivez $- (3 x + 1)$ comme $- 1 (3 x + 1)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(3 x + 1) (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{3 (- \frac{1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$\frac{- 5}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 5}{1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{- 5}{\frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Étape 4.1.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 5}{\frac{1}{3^{2}} + 1}$

Étape 4.1.2.2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + 1}$

Étape 4.1.2.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + \frac{9}{9}}$

Étape 4.1.2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5}{\frac{1 + 9}{9}}$

Étape 4.1.2.2.8

Additionnez $1$ et $9$ .

$\frac{- 5}{\frac{10}{9}}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 5 (\frac{9}{10})$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{9}{10}$

Étape 4.1.2.4.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{3 (3) - 4}{{(3)}^{2} + 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 - 4}{3^{2} + 1}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\frac{5}{3^{2} + 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{5}{9 + 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{5}{10}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (1)}{10}$

Étape 4.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{9}{2}), (3, \frac{1}{2})$

Étape 5