Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 1)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Étape 1.1.10

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x = - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x + 1)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${((- 1) + 1)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0^{2}$

Étape 4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- 1, 0)$

Étape 5